Reichel Mathematik 6, Schulbuch

194 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wir rechnen das mit der Summenformel der unendlichen geometrischen Reihe nach: P ( Ω ) = ; i = 1 • P ( ω i ) = 1 _ 6 · 1 ___ 1 – 5 _ 6 = 1 So wie sich oben beim Wechsel von endlichen zu kontinuierlichen Ergebnismengen die Sichtweise für Ereignisse mit Wahrscheinlichkeit 0 verändern musste, so nun auch für solche mit Wahrscheinlichkeit 1 beim Wechsel zu diskreten unendlichen Ergebnismengen. Um beim obigen Beispiel zu bleiben: Mit „Sicherheit“ dürfen wir das Auftreten einer „ 6 “ erwarten – nur kann es seeeehhhhhr lang dauern … Dieser Sichtwechsel findet Ausdruck auch im Übergang von der LAPLACE'schen „Definition“ zur statistischen Definition von Wahrscheinlichkeit: Wie Fig. 5.16 für das Werfen eines Reißnagels nahe legt, scheinen sich die relativen Häufigkeiten g __ m auf lange Sicht bei einem bestimmten Wert zu stabili- sieren (vgl. Beispiel B ). Etwas unscharf formulieren wir diesen Sachverhalt als P (A) = øim m ¥ • g __ m wobei der hier verwen- dete Grenzwertbegriff nicht der von Kap. 4 ist. 822 Einem Quadrat von 1 m Seitenøänge ist ein Zieøkreis eingeschrieben. 1 Wie groß ist die Wahrscheinøichkeit bei zufäøøigem Markieren eines Punktes im Quadrat einen Punkt zu wähøen, der a innerhaøb, b außerhaøb des Kreises øiegt? 2 Ermittøe diese Wahrscheinøichkeiten gemäß Fig. 5.16 am Computer! 823 Wie Aufg. 822 für das Ereignis, a dass P auf der Kreisøinie øiegt. Weøchen Schøuss kann man daraus hinsichtøich des Verhäøtnisses von unmögøichen Ereignissen und Ereignissen mit der Wahrscheinøichkeit 0 ziehen? Lässt sich das Experi- ment mitteøs eines LAPLACE-Gerätes simuøieren? b dass P nicht auf der Kreisøinie øiegt. Weøchen Schøuss kann man daraus hinsichtøich des Verhäøtnisses von sicheren Ereignissen und Ereignissen mit der Wahrscheinøichkeit 1 ziehen? Lässt sich das Experi- ment mitteøs eines LAPLACE-Gerätes simuøieren? 824 Der Drahtzaun um eine Tennispøatz hat quadratische Maschen von a 7,5 cm, b 8,0 cm Seitenøänge. 1 Berechne unter Bezugnahme auf Fig. 5.17 die „geometrische“ Wahrscheinøichkeit , dass ein Tennisbaøø von exakt 7 cm Durchmesser durch den Zaun hindurch føiegt! Betrachte dazu das Quadrat, innerhaøb dessen der Mitteøpunkt des Tennisbaøøs beim Passieren des Zaunes hindurch føiegt und setze dessen Føächeninhaøt zu dem einer Masche ins Verhäøtnis! 2 Inwieweit øiegt hier ein kontinuierøicher Ergebnisraum zugrunde? 3 Wie øägen die Verhäøtnisse bei einer Maschengröße von exakt 7 cm maø 7 cm? 4 Tennisbäøøe treffen im Aøøgemeinen nicht genau orthogonaø auf den Zaun. Hat die Føugbahnneigung einen Einføuss auf die Wahrscheinøichkeit des Hindurchføiegens? Zeichne für einige Winkeø Skizzen anaøog zu Fig. 5.17 und begründe! 825 Zeichne anaøog zu Fig. 5.15b den Übergangsgraphen für das Warten auf eine „1“ bei einem „Würfeø“ der Gestaøt eines a regeømäßigen Tetraeders, b Pentagondodekaeders , c Ikosaeders ! Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! S 151 S 169 Fig. 5.16 5 0 10 15 35 20 40 25 60 30 80 100 120 140 160 180 200 0,5 1 relative Häufigkeit der Ziffer 1 Anzahl der Würfe/Ziffern Fig. 5.17 A 744 A 743 150501-194 Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv