Reichel Mathematik 6, Schulbuch

20 Räumliche Koordinatengeometrie 1 4. Die Vektor-Projektions-Formel kennen und verwenden Bei der Ermittlung der Projektion eines Vektors auf einen anderen handelt es sich wie schon bei der Berechnung des Flächeninhaltes eines Dreiecks oder bei der Feststellung von Orthogonalität eigentlich um ein „ebenes“ Problem. Begründe! Daher lässt sich die uns schon bekannte Vektor-Projektions-Formel (vgl. Buch 5. Kl. S. 230) zur Berech- nung des Projektionsvektors wie auch der Länge p der Projektion unmittelbar übertragen – nur dass nun eben die Vektorsymbole für Vektoren des R 3 statt des R 2 stehen: Satz Vektor-Projektions-Formeø (VP-Formeø): Die Normaøprojekti- on __ À b a des Vektors _ À b auf den Vektor _ À a ( ≠ _ À o) hat die orientierte Länge p ( __ À b a ) = † _ À b † ·cos ¼ ( _ À a, _ À b) = _ À b· __ À a 0 . Der Vektor __ À b a seøbst hat die Darsteøøung __ À b a = p ( __ À b a )· __ À a 0 . Beispiel I Ermittøe im Dreieck A (1 1 0 1 0), B (3 1 3 1 ‒6), C (2 1 ‒2 1 2) die Länge der Höhe h c auf zwei Arten, nämøich unter Verwendung 1 der VF-Formeø, 2 der VP-Formeø! Lösung: _ À c = __ À AB = (2 1 3 1 ‒6), _ À b = __ À AC = (1 1 ‒2 1 2) 1 Wir berechnen den Føächeninhaøt A mitteøs der VF-Formeø und sodann h c aus A = c·h c /2: A = 1 _ 2 · 9 ____________________ † 3 ‒6 ‒2 2 † 2 + † 2 ‒6 1 2 † 2 + † 2 3 1 ‒2 † 2 = 9 ___ 185 ___ 2 = † _ À c † ·h c ____ 2 w h c = 9 ___ 185 _________ 9 ________ 2 2 + 3 2 + (‒6) 2 = 9 ___ 185 ___ 7 2 Wir berechnen die Länge † p ( __ À b c ) † der Normaøprojektion von _ À b = __ À AC auf _ À c = __ À AB und sodann mitteøs des pythagoreischen Lehrsatzes (Figur) die Höhe h c : † __ À b c † = † _ À b· _ À c 0 † = † “ 1 ‒2 2 § · “ 2 3 ‒6 § 0 † = † 1·2 + (‒2)·3 + 2·(‒6) ____________ 9 _______ __ 2 2 + 3 2 + (‒6) 2 † = 16 __ 7 h c 2 = _ À b 2 – __ À b c 2 = 9 __________ 1 2 + (‒2) 2 + 2 2 2 – “ 16 __ 7 § 2 = 9 – 256 ___ 49 w h c = 9 ___ 185 ___ 7 46 Überprüfe 1 mit Hiøfe des skaøaren Produktes, 2 mit Hiøfe des pythagoreischen Lehrsatzes, ob das gegebene Dreieck rechtwinkeøig ist! a A (25 1 13 1 4), B (11 1 5 1 10), C (20 1 0 1 ‒25) b A (2 1 1 1 0), B (2 1 ‒3 1 ‒4), C (1 1 ‒1 1 ‒2) c A (‒1 1 1 1 2), B (‒2 1 2 1 4), C (0 1 3 1 4) d A (4 1 2 1 1), B (13 1 6 1 5), C (7 1 8 1 2) e A (‒2 1 ‒1 1 1), B (‒5 1 2 1 4), C (‒1 1 1 1 3) f A (‒1 1 1 1 2), B (2 1 1 1 5), C (1 1 ‒1 1 3) g A (1 1 2 1 3), B (4 1 5 1 3), C (3 1 3 1 5) h A (4 1 ‒1 1 2), B (7 1 ‒3 1 ‒4), C (‒5 1 7 1 14) 47 Überprüfe unter Verwendung des Orthogonaøitätskriteriums und der Distanzformeø (aber ohne Paraøøeøitätskriterium), ob die angeführten Körper Quader oder Würfeø sind ! a Aufg. 29 a b Aufg. 29 b c Aufg. 29 c d Aufg. 29 d d Aufg. 29 e e Aufg. 29 f f Aufg. 29 g g Aufg. 29 h 48 Ergänze die fehøende Koordinate so, dass _ À a und _ À b orthogonaø stehen! a _ À a = (1 1 2 1 ‒5), _ À b = (4 1 5 1 ) b _ À a = (2 1 ‒3 1 ‒4), _ À b = (4 1 1 4) c _ À a = (4 1 1 1 4), _ À b = ( 1 4 1 1) d _ À a = ( 1 ‒2 1 ‒3), _ À b = (1 1 0 1 1) e _ À a = (1 1 1 1 5), _ À b = (‒2 1 ‒3 1 ) f _ À a = (3 1 9 1 ), _ À b = (2 1 1 1 ‒5) g _ À a = (3 1 0 1 2), _ À b = (0 1 1 0) h _ À a = (0 1 0 1 7), _ À b = ( 1 3 1 1) a b b a c A B C b b c h c S 15 150501-020 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv