Reichel Mathematik 6, Schulbuch

200 Exponential- und Logarithmusfunktion In diesem Kapitel wirst du Potenzen mit reellen Hochzahlen kennen lernen und deuten können, • die zugehörige Funktion, nämlich die Exponentialfunktion, verstehen, • die Umkehrung der Exponentialfunktion kennen lernen, nämlich die logarithmische Funktion, • diese Funktionen darstellen und mit ihnen rechnen, • insbesondere auch das Auflösen von Gleichungen mit solchen Funktionen, • und dieses Wissens auf Wachstumsvorgänge anwenden. • Wiederholung und Vorschau Die Weltbevölkerung betrug im Jahr 2010 etwa 6,9 Mrd. Menschen und steigt jährlich um 1% . Wie kann man diesen Sachverhaøt mathematisch formuøieren und veranschauøichen? Eine rekursive bzw. Term-Darstellung der Folge der erwarteten Bevölkerungszahlen ist y n + 1 = y n + y n · 1 ___ 100 = y n · 1,01 bzw. y n = 6,9·10 9 ·1,01 n Jahr n Bevölkerung y n 2010 0 6,90 E + 09 2011 1 6,97 E + 09 2012 2 7,04 E + 09 2013 3 7,11 E + 09 2014 4 7,18 E + 09 2015 5 7,25 E + 09 … … … 2020 10 7,62 E + 09 … … … 2025 15 8,01 E + 09 Die Darstellung durch die obige geometrische Folge ist der Sache aber nicht angemessen , weil ja die Be- völkerung „sozusagen in jedem Augenblick“ – ma- thematisch ausgedrückt: kontinuierlich – wächst und nicht nur sprunghaft zu Jahreswechsel. Der Sa- che angemessener wäre daher die Darstellung durch die reelle Funktion f: R¥R , y = 6,9·10 9 ·1,01 x . Weil die Variable x im Exponenten steht, nennt man eine solche Funktion Exponentialfunktion . Diese Dar- stellung setzt allerdings voraus, dass die „Potenz“ 1,01 x für jede beliebige reelle Zahl x definiert ist! Bisher haben wir Potenzen nur für rationale Exponenten „er- klärt“ (dh. definiert). Wir müssen daher den Potenz- begriff auf reelle Exponenten ausdehnen . Im Internet findest du übrigens unter http://www. weltbevoelkerung.de/info-service/weltbevoelke- rungsuhr.php eine sogenannte Weltbevölkerungsuhr, die das ständige Anwachsen der Weltbevölkerung auf eindrucksvolle Weise zeigt. 6.0 Fig. 6.1a Jahr: 2120 2100 2080 2060 2040 2020 2000 1980 1970 1960 1950 1930 1900 1850 Mrd. Menschen 12,3 12,3 12,3 12,3 12,2 12,0 11,3 10,2 9,3 8,4 7,6 6,9 6,3 5,3 4,4 3,7 3,0 2,5 2,1 1,7 1,3 Fig. 6.1b Milliarden Menschen x Jahr y 10 5 0 0 10 š 2000 š 2010 20 š 2020 K 2 K 6.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv