Reichel Mathematik 6, Schulbuch

201 6.1 Potenzen mit reellen Zahlen als Exponenten – Exponentialfunktion 6 Potenzen mit reellen Zahlen als Exponenten – Exponentialfunktion 1. Potenzen auf reelle Exponenten erweitern Potenzen, deren Exponent x eine endliche Dezimalzahl ist, haben wir schon in Kapitel 2 behandelt. Bei- spielsweise ist 3 1,4 gleichbedeutend mit 10 9 __ 3 14 . Was aber kann 3 9 __ 2 bedeuten? Erinnere dich: 9 __ 2 ist der reelle Grenzwert der rationalen Folge k 1 ; 1,4 ; 1,41 ; 1,414 ; … l . Wir legen daher 3 9 __ 2 als Grenzwert der Folge k 3 1 ; 3 1,4 ; 3 1,41 ; 3 1,414 ; … l fest. Diese Folge ist wohldefiniert, da ja jedes Folgen- glied eine endliche Dezimalzahl als Exponenten besitzt; sie ist monoton wachsend und – zB durch 3 2 – nach oben beschränkt und konvergiert daher gemäß dem Satz von der monotonen Konvergenz . Geøten die in Kap. 2 abgeøeiteten Rechenregeøn auch für Potenzen mit beøiebigen reeøøen Exponen- ten? Die Antwort ist ja. Betrachten wir dazu beispielsweise die Regel a r ·a s = a r + s mit r, s * R . Strebt die ratio- nale Exponentenfolge k r 1 ; r 2 ; r 3 ; … l gegen r und die rationale Exponentenfolge k s 1 ; s 2 ; s 3 , … l gegen s , so strebt die Summenfolge k r 1 + s 1 ; r 2 + s 2 ; r 3 + s 3 ; … l gegen r + s . Da die Funktion y = a x stetig ist, gilt die Regel. Begründe die anderen Rechenregeøn anaøog ! 2. Die Exponentialfunktion definieren und anwenden In Kap. 6.0 haben wir die Entwicklung der Weltbevölkerung durch eine Funktion beschrieben, deren Termdarstellung eine „Potenz“ enthält, deren Basis fest (nämlich 1,01 ) und deren Exponent x variabel ist. In Verallgemeinerung dessen gibt man die Definition Unter der Exponentiaøfunktion zur Basis a versteht man die Funktion a exp: R ¥ R + , y = a x a * R + Begründe anhand der Definition der Potenzen, warum a > 0 vorausgesetzt wird ! Beispiel A Zeichne die Graphen der Funktionen y = “ 5 _ 4 § x und y = “ 4 _ 5 § x für D = [‒5; 5] in ein Koordinatensystem! Lies deren Eigenschaften (vgø. Buch 5. Kø. Kap. 4.1) aus der Figur ab! Lösung: Wir steøøen eine Wertetabeøøe (gerundet auf 2 Dezimaøsteøøen) auf: x ‒5 ‒4 ‒3 ‒2 ‒1 0 1 2 3 4 5 “ 5 _ 4 § x 0,33 0,41 0,51 0,64 0,80 1,00 1,25 1,56 1,95 2,44 3,05 “ 4 _ 5 § x 3,05 2,44 1,95 1,56 1,25 1,00 0,80 0,64 0,51 0,41 0,33 Beachte: 4 _ 5 < 1 Beachte: 5 _ 4 > 1 stets positiv stets positiv nach oben unbeschränkt nach oben unbeschränkt enthäøt P(0 1 1) enthäøt P(0 1 1) streng monoton faøøend streng monoton wachsend x-Achse ist Asymptote x-Achse ist Asymptote 6.1 S 131 S 134 S 243 A 838 A 844 0 1 1 x y y = ( ) x 5 4 y = ( ) x 4 5 ( ) ( ) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv