Reichel Mathematik 6, Schulbuch

212 Exponential- und Logarithmusfunktion 6 Rechnen mit Logarithmen 1. Logarithmieren und Entlogarithmieren Bevor es elektronische Rechner gab, wurden die Logarithmen vor allem dazu verwendet, das Multipli- zieren und Dividieren zu vereinfachen. Wir erläutern die Idee an einem ganz einfachen Beispiel: Die Multiplikation 4·8 kann man wegen 4 = 2 2 und 8 = 2 3 unter Anwendung der Potenzregeln aus Kap. 2.0 in der Form 4·8 = 2 2 ·2 3 = 2 2 + 3 = 2 5 = 32 berechnen. Unter Verwendung von Logarithmen kann man dafür schreiben: 4·8 = 2 2 øog 4 ·2 2 øog 8 = 2 2 øog 4 + 2 øog 8 = 2 2 øog 32 = 32 Man sieht: 2 øog (4·8) = 2 øog 4 + 2 øog 8 In Verallgemeinerung dieses Beispiels gilt für u, v * R + : a øog (u·v) = a øog u + a øog v In Worten: Der Logarithmus eines Produktes ist gleich der Summe der Logarithmen der Faktoren. Beweise dies ! In früheren Zeiten, als es noch keine Taschenrechner gab, konnte man daher zwei Zahlen u·v mitein- ander multiplizieren, indem man deren Logarithmen in so genannten Logarithmentafeln (Tabelle auf S. 214) ablas (man nennt den Übergang von den Numeri zu ihren Logarithmen Logarithmieren ) und de- ren Summe bildete. Anschließend suchte man (durch „Zurückschlagen“) den zur Summe gehörigen Nu- merus (diesen Vorgang, den Übergang vom Logarithmus zum zugehörigen Numerus, bezeichnet man als Entlogarithmieren ); dieser war das gesuchte Produkt u·v . Wie das Aufsuchen des Logarithmus und das Zurückschlagen erfolgt, darauf gehen wir auf S. 214 ein. Mit Hilfe der Logarithmen(tafel) konnte man nicht nur multiplizieren, sondern auch dividieren, poten- zieren und wurzelziehen, nicht jedoch addieren und subtrahieren. Erøäutere die jeweiøige Vorgangsweise und begründe sie! Die Idee ist sehr einfach. Da Logarithmen „nur“ die Hochzahlen von Potenzen zu einer festen Basis a sind, gelten für sie genau jene Rechengesetze, die wir schon beim Potenzrechnen kennen gelernt haben – nur eben in einer anderen Sprech- und Schreibweise: Satz Rechenregeøn für das Logarithmieren und Entøogarithmieren: Für a, u, v * R + giøt: 1) a øog (u·v) = a øog u + a øog v 2) a øog u _ v = a øog u – a øog v 3) a øog u r = r· a øog u r * R 4) a øog r 9 __ u = 1 _ r · a øog u r * N *\{1} Merkregeø: „Beim Logarithmieren einer Rechenoperation erniedrigt sich diese um eine Stufe, beim Entøogarithmieren erhöht sie sich um eine Stufe.“ Bemerkungen: 1) Für das Logarithmieren von Summen und Differenzen gibt es keine analogen Formeln. Wie sollte man denn auch die Rechenoperationen 1. Stufe „erniedrigen“? 2) Für das Entlogarithmieren von Potenzen gibt es keine analoge Formel. Wie sollte man denn auch eine Rechenoperation 3. Stufe weiter „erhöhen“? 3) Kommen bei diesen Rechenoperationen negative Argumente vor, so berechne die Logarithmen zu- nächst ohne Berücksichtigung des Vorzeichens und überlege erst zum Schluss das Vorzeichen des Er- gebnisses. 6.4 A 891 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum d s Verlags öbv