Reichel Mathematik 6, Schulbuch

213 6.4 Rechnen mit Logarithmen 6 Beispiel H a Steøøe øog (5 x 2 · 9 _ y/z 4 ) aøs Summe bzw. Differenz von Logarithmen dar! b Steøøe 2·øog 5 – 0,5·(øog a + 2·øog b) + 0,8·øog c aøs Logarithmus eines Terms dar! Lösung: a … = øog (5·x 2 ) + øog y 1/2 – øog z 4 = øog 5 + 2·øog x + 1/2 øog y – 4·øog z b … = 2·øog 5 – 0,5·øog a – øog b + 4/5·øog c = øog 5 2 – øog a 0,5 – øog b + øog c 4/5 = = øog 5 2 + øog 5 9 __ c 4 – (øog 9 __ a + øog b) = øog (5 2 · 5 9 __ c 4 / 9 ___ ab 2 ) Bemerkungen: 1) Bei der Lösung des obigen Beispiels haben wir stillschweigend vorausgesetzt, dass etwa øog (a·b/c) = øog a + øog b – øog c ist, was eigentlich zu beweisen wäre . 2) Beachte die folgenden „abgekürzten“ Schreibweisen: – øog x 2 für øog (x 2 ) – øog 2 x für (øog x) 2 = (øog x)·(øog x) (aber NICHT øog (øog x) !) – 2 øog x für 2·øog x (Schreibe zwecks Unterscheidung von 2 øog x sorgfältig!) – øog 2 x für øog (2 x) (Vermeide die Schreibweise øog 2·x ; sie wird mancherorts als øog (2·x) gelesen, andernorts aber als (øog 2)·x , wofür man besser x·øog 2 schreibt. Im Zweifelsfall sowie am Compu- ter sind stets Klammern zu setzen!) 3) Zwecks Vereinfachung der Schreibweise lassen wir in Hinkunft überall dort, wo es gleichgültig ist, welche Basis a * R + \{1} zugrunde gelegt wird (wenn es nur immer die gleiche ist), diese weg und schreiben einfach „ øog “. Weiters setzen wir voraus, dass die Variablen nur mit solchen reellen Zahlen belegt werden, für die die zugehörigen Logarithmen definiert sind. 2. Charakteristik und Mantisse kennen und anwenden Beispiel I øg 2 = 0,30103 Berechne daraus ohne Taschenrechner øg 20, øg 200 und øg 2000 sowie øg 0,2, øg 0,02 und øg 0,002! Kontroøøiere am Taschenrechner! Veraøøgemeinere für aøøe Zahøen x = 2·10 k , k * Z ! Lösung: øg 20 = øg (2·10) = øg 2 + øg 10 = øg 2 + 1 = 1,30103 øg 200 = øg (2·100) = øg 2 + øg 100 = øg 2 + 2 = 2,30103 øg 2000 = øg (2·1000) = øg 2 + øg 1000 = øg 2 + 3 = 3,30103 øg 0,2 = øg (2/10) = øg 2 – øg 10 = øg 2 – 1 = 0,30103 – 1 øg 0,02 = øg (2/100) = øg 2 – øg 100 = øg 2 – 2 = 0,30103 – 2 øg 0,002 = øg (2/1000) = øg 2 – øg 1000 = øg 2 – 3 = 0,30103 – 3 øg(2·10 k ) = ………… ………… = øg 2 + k Was fäøøt dir auf? Begründe! Wir sehen: Die Zahlen 0,002 , 0,02 , 0,2 , 20 , 200 und 2000 unterscheiden sich von der Zahl 2 nicht in der Ziffernfolge, sondern nur im Stellenwert. Für die dekadischen Logarithmen dieser Zahlen bedeutet dies offensichtlich, dass sie sich von øg 2 jeweils nur um eine ganze Zahl k unterscheiden. Mit anderen Wor- ten: Die Zahl k ist charakteristisch für den Stellenwert der angegebenen Zahlen x . Man nennt die Zahl k daher die Charakteristik von x . Für die Ziffernfolge (Nachkommastellen) von x ist hingegen øg 2 als Mantisse „ allein “ verantwortlich. Beispiel I und die zugehörigen Überlegungen (vgl. Buch 5. Kl. S. 37) lassen sich wegen øg (m·10 k ) = øg m + k·øg 10 = øg m + k·1 = øg m + k verallgemeinern: Satz Der dekadische Logarithmus jeder Zahø x * R + mit der Gøeitkommadarsteøøung x = m·10 k ist die Summe aus dem Logarithmus der Mantisse m und der Charakteristik k, dh.: øg (m·10 k ) = øg m + k A 892 + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv