Reichel Mathematik 6, Schulbuch

214 Exponential- und Logarithmusfunktion 6 Eine einfache Anwendung des Satzes zeigt Beispiel J Um wie vieø Größenordnungen unterscheiden sich a = 137000 und b = 8458000? Lösung: øg 137000 ≈ 5,14 w 6,93 – 5,14 = 1,79 ≈ 2, dh., b ist um rund 2 Größenordnungen größer aøs a. øg 8458000 ≈ 6,93 Man sieht: Mit Hilfe von Logarithmen kann man den in der 5. Klasse geprägten Begriff des Größenord- nungsunterschiedes „verfeinern“. Nun können wir auch genau erklären, wie man mit so einer Logarithmentafel gerechnet hat: Um etwa 4 9 ____ 20,93 zu berechnen, bestimmte man zuerst die Charakteristik von 20,93 : die ist 1 . Dann las man die Mantisse aus der Logarithmentafel ab: 3208 . Damit bildete man den øg 20,93 = 1,3208 . ( Kontroøøiere dies mit dem Taschenrechner! ) Um die 4. Wurzel zu finden, dividierte man durch 4 , also 1,3208 : 4 = 0 , 3302 . Aus der Charakteristik 0 ergab sich der Stellenwert . , … . Jetzt brauchte man nur noch die Tafel umge- kehrt zu verwenden, dh. zu suchen, wo die Mantisse 3302 auftrat. Das ist bei 2139 der Fall. Somit ergibt sich 4 9 ____ 20,93 = 2,139 . Erøäutere ! Für das Kopfrechnen ist es günstig, die dekadi- schen Logarithmen von 2 und von 3 auswendig zu wissen; man kann dann leicht Größenver- hältnisse im Kopf abschätzen. øg 2 ≈ 0,30 øg 3 ≈ 0,48 Dann weiß man auch – Begründe! – øg 4 = øg 2 + øg 2 ≈ 0,60 øg 6 = øg 2 + øg 3 ≈ 0,78 øg 8 = 3·øg 2 ≈ 0,90 øg 9 = 2·øg 3 ≈ 0,96 Die Logarithmen von 5 bzw. 7 liegen zwischen denen von 4 und 6 bzw. 6 und 8 und können dadurch auch geschätzt werden. Beispiel K Schätze, wievieøsteøøig bzw. etwa wie groß 9 9 ist! Lösung: Wir berechnen im Kopf den dekadischen Logarithmus von 9 9 : øg 9 9 = 9·øg 9 = 9·2·øg 3 = 18 øg 3 = 18·0,48 Wegen 18·0,45 < 18·0,48 < 18·0,5 giøt: 8,1 < øg 9 9 < 9, aøso øg 9 9 = 8,… genauer: 8,6 Aus der Charakteristik 8 øiest man ab, dass 9 9 eine 8 + 1 = neunsteøøige Zahø ist. Ihr Wert kann durch Entøogarithmieren von 0,6 (= 8,6 – 8) genauer ermitteøt werden: Wegen øg 4 ≈ 0,6 ist 9 9 etwa 4·10 8 . 3. Zusammenhang zwischen Logarithmen mit verschiedenen Basen kennen und anwenden Wie wir gesehen haben, sind für die praktische Anwendung vor allem der dekadische Logarithmus (we- gen seines Zusammenhangs mit dem dekadischen Zahlensystem) und der natürliche Logarithmus (zur Darstellung kontinuierlicher Wachstumsprozesse) wichtig. Diese beiden Logarithmen sind auch am Ta- schenrechner unmittelbar verfügbar. Für gewisse Anwendungen sind jedoch gelegentlich auch die Logarithmen zu anderen Basen von Be- deutung, zB in der Informatik der Logarithmus zur Basis 2 . Wegen des Zusammenhangs mit dem Dual- system spricht man vom logarithmus dualis und schreibt ød . Alle diese Logarithmen lassen sich auf- grund des folgenden Zusammenhangs am Taschenrechner ermitteln: Fig. 6.6 F 6.6 + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv