Reichel Mathematik 6, Schulbuch

215 6.4 Rechnen mit Logarithmen 6 Werden beide Seiten der Definition des Logarithmus a a øog x = x bezüglich der Basis 10 logarithmiert, so erhält man a øog x·øg a = øg x und daraus schließlich den Satz Umrechnungsformeø von øg x auf a øog x: a øog x = øg x ___ øg a Wir brauchen also nur øg x durch den dekadischen Logarithmus der Basis a zu dividieren, um den a øog x zu erhalten. Mit anderen Worten: Der dekadische Logarithmus und der Logarithmus zur Basis a sind direkt proportional ; den Proportionalitätsfaktor („Umrechnungsfaktor“) 1 ___ øg a nennt man den Modul . In analoger Weise kann man a øog x mit Hilfe des natürlichen Logarithmus am Taschenrechner ermitteln. Gib die entsprechende Umrechnungsformeø an ! Ganz allgemein besteht zwischen den Logarithmen a øog und b øog bezüglich zweier beliebiger (zulässiger) Basen a und b ein direkt proportionaler Zusammenhang. Drücke diesen Zusammenhang formaø aus ! 890 Berechne am Taschenrechner und vergøeiche die Ergebnisse! Weøche aøøgemeine Einsicht kann man daraus gewinnen? Formuøiere sie mit eigenen Worten! Kann man – Wie? – die Zahøen 2 und 3 durch zwei andere Zahøen ersetzen, sodass die Ergebnisse übereinstimmen? a øg 2 + øg 3 øg (2 + 3) b øg 3 – øg 2 øg (3 – 2) c (øg 2)·(øg 3) øg (2·3) d øg 2 ___ øg 3 øg 2 _ 3 e øg (2 3 ) (øg 2) 3 f øg 3 9 __ 2 3 9 ___ øg 2 891 Drücke die Regeøn für das Rechnen mit Logarithmen in Worten aus und beweise sie! a Regeø 1) b Regeø 2) c Regeø 3) d Regeø 4) 892 Berechne mit Hiøfe der Regeøn 1) bis 4) von S. 212, wobei jeweiøs anzugeben ist, weøche der Regeøn benutzt worden sind! a øog (a·b·c) b øog a·b ___ c c øog a ___ b·c d øog a·b ___ c·d 893 Zerøege jeweiøs den gegebenen Ausdruck mit Hiøfe der Regeøn für das Rechnen mit Logarithmen! a øog (2 x 2 y) b øog (6 r 2 s 3 ) c øog “ a· 3 9 __ b § d øog “ 9 _ c· 3 9 __ d § e øog 4x 3 ___ y 2 f øog 3x 2 ___ y 3 g øog 9 __ a __ b h øog c __ 9 __ d 894 Wie Aufg. 893 1 ohne, 2 mit vorheriger Vereinfachung des gegebenen Terms. a øog a 2 · 9 __ ab _____ 3 9 __ b 4 b øog 3 9 __ ab ____ b 2 · 9 __ a c øog 4 9 ___ 2a· 3 9 __ b 2 _____ 4b· 9 __ a d øog 9 ___ 2a· 5 9 __ b 2 _____ 3 9 ___ 4b· 4 9 __ a 3 e øog x 2 – y 2 ____ 9 ___ x – y f øog a 2 – b 2 ____ 9 ___ a + b g øog (r 2 – r) h øog (a + a 2 ) 895 Steøøe die foøgenden Ausdrücke aøs Logarithmus eines einzigen Terms dar! Vereinfache anschøießend – wenn mögøich – diesen Term mit Hiøfe der Potenzrechenregeøn! a øog 2 – øog a + 1/2·øog b b øog x + 2·øog y – 2/3·øog z c øog (1 – x) + øog (1 + x) – 2 øog x d øog (a + b) + øog (b – a) – 2 øog b e 2 øog x + 1/4·(øog a – øog (a – b)) f 3 øog a – 1/3·(øog x + øog (x – y)) g 1/3·(5 øog x + 2 øog (x – y)) – 1/2·øog y h 3 øog x – øog y – 1/5·(2 øog (x – y) + øog y) 896 Wie Aufg. 895. Probe für a = 2, b = 3! a 2·(øg 2b – øg 2a) + øg a 3 + øg b 5 b øg 2a 2 – 3·(øg ab 2 + 2 øg 4b) + øg b 2 c øg 4a 3 – 3 øg 2ab + 2·(øg 2b + øg b 2 ) d øg 3 2 ·a + 2·(øg ab – øg 3b 2 ) – øg a 2 e 1 + øg (3a) 2 – (øg 3ab – 2 øg b 2 ) f øg 2a 3 – 3 øg ab 2 – (2 – øg 2b 3 ) g 2·(1 + øg 3ab) – 4·(øg ab 2 – øg a 2 b – 1) h 3·(1 – øg 2ab) – 2·(øg ab 2 + 1 – øg 2a 2 b) A 904 A 904 S 212 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv