Reichel Mathematik 6, Schulbuch

217 6.5 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen 6 Exponentialgleichungen und logarithmische Gleichungen 1. Exponentialgleichungen lösen Logarithmen kann man nicht nur zum Abschätzen verwenden, sondern man kann damit auch Gleichun- gen lösen, in denen die Unbekannte als Exponent vorkommt. Solche Gleichungen heißen naturgemäß Exponentialgleichungen . Sie lassen sich vielfach durch Logarithmieren lösen : Beispiel L Berechne x aus 3 x = 2, G = R ! Lösung: Wir führen die Gøeichung durch Logarithmieren zur Basis 10 in eine øineare Gøeichung über: øg 3 x = øg 2 x·øg 3 = øg 2 x = øg 2 ___ øg 3 ≈ 0,63093 Probe: 3 0,63093 ≈ 2 Bemerkung: An sich ist es gleichgültig, bezüglich welcher Basis man die Gleichung logarithmiert. Un- mittelbar am Taschenrechner sind jedoch nur der dekadische bzw. der natürliche Logarithmus verfüg- bar; daher gibt man diesen im Allgemeinen (vgl. jedoch Aufg. 907) den Vorzug. Beispiel M Die Atomkerne einiger Eøemente wie Uran, Radium, Pøutonium usw. sind instabiø, dh., sie zerfaøøen spontan. Die Zeit τ , in der von einer vorhandenen Stoffmenge die Häøfte zerfäøøt, heißt Haøbwertszeit . Sie øiegt zwischen Bruchteiøen einer Sekunde (zB 3·10 ‒7 s beim Poøoniumisotop 212) und etøichen Miøøiarden Jahren (zB 4,5·10 9 Jahre beim Uran 238). Obwohø für keinen einzigen instabiøen Atom- kern der Zeitpunkt seines Zerfaøøs vorausgesagt werden kann, giøt für eine genü- gend große Anzahø soøcher Kerne ein exponentieøøes Zerfaøøsgesetz , das sich von den Wachstumsgesetzen durch das Vorzeichen des Exponenten unterscheidet („Minuswachstum“): N t … Anzahø der zum Zeitpunkt t noch vorhandenen Kerne des Eøements N t = N 0 ·e ‒ λ ·t N 0 … Anzahø der ursprüngøich vorhandenen Kerne λ … Zerfaøøskonstante a Drücke die Haøbwertszeit τ durch λ aus! b Berechne λ für das Poøoniumisotop 212 und für Uran 238! c Berechne, nach weøcher Zeit t nur noch 10% der ursprüngøichen Masse vorhanden sind! Lösung: a N τ = N 0 ·e ‒ λ · τ = N 0 ·0,5 w N 0 ·e ‒ λ · τ = N 0 ·0,5 ! N 0 ! øn ‒ λ · τ ·øn e = øn 0,5 ! (Beachte: øn e = 1 und øn 0,5 = øn 1 _ 2 = ‒øn 2) ‒ λ · τ = ‒øn 2 τ ≈ 0,693 ____ λ (Beim Logarithmieren der Gøeichung war es hier praktisch den natürøichen Logarithmus zu ver- wenden, weiø øn e = 1 ist.) b Poøoniumisotop 212: λ ≈ 0,693 ____ τ = 0,693 ____ 3·10 ‒7 ≈ 2·10 6 s ‒1 Uran 238: λ ≈ 0,693 ____ τ = 0,693 _____ 4,5·10 9 ≈ 1,5·10 ‒10 a ‒1 c N t = 10%·N 0 = 0,1·N 0 w N 0 ·e ‒ λ ·t = N 0 ·0,1 ! N 0 ! øn ‒ λ ·t = øn 0,1 t = ‒øn 0,1 ____ λ = øn 10 ___ λ aøso t ≈ 0,000001 Sekunden (Poøoniumisotop 212) bzw. t ≈ 1,5·10 10 Jahre (Uran 238). 6.5 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv