Reichel Mathematik 6, Schulbuch

218 Exponential- und Logarithmusfunktion 6 2. Logarithmische Gleichungen lösen Bei vielen Problemen treten Gleichungen auf, bei denen die Unbekannte als Numerus von Logarithmen vorkommt; man nennt sie daher logarithmische Gleichungen : Beispiel N Löse die Gøeichung 6·(øg x) 2 + 2 = øg x 7 für G = R + ! Lösung: 6·(øg x) 2 – 7 øg x + 2 = 0 øg x = u 6u 2 – 7u + 2 = 0 u 1,2 = 7 ± 9 ______ 49 – 48 _______ 12 = 7 ± 1 ___ 12 u 1 = 2/3 w x 1 = 10 u 1 = 10 2/3 = 3 9 ___ 100 u 2 = 1/2 w x 2 = 10 u 2 = 10 1/2 = 9 __ 10 L = { 3 9 ___ 100; 9 __ 10} Probe: Hier ist es günstiger den Taschenrechner einzusetzen, damit ein eventueøøer Fehøer beim Um- formen nicht noch einmaø auftritt. Für x 1 : LS = 4,6667 = RS Für x 2 : LS = 3,5 = RS Schwieriger zu lösen sind logarithmische Gleichungen, deren Basis weder 10 noch e ist: Beispiel O Ermittøe die Definitionsmenge und die Lösungsmenge für G = R der Gøeichung 2 øog (x + 1) + 2 øog (x – 1) = 3! Lösung: x + 1 > 0 w x > ‒1 w D = ]1; • [ x – 1 > 0 w x > 1 2 øog·((x + 1)·(x – 1)) = 3 ! Entøogarithmieren zur Basis 2 (Beachte: 3 = 2 øog 2 3 ) x 2 – 1 = 2 3 x 2 = 9 x 1 = 3 x 2 = ‒3 L = {3} (weiø – 3 + D) Exponentialgleichungen 907 Löse 1 ohne Logarithmieren, 2 mit Logarithmieren zu einer günstigen Basis die gegebenen Gøeichun- gen in R ! Führe jeweiøs auch die Probe aus! a 3 x = 1/9 b 2 x = 1/16 c 9 x – 1 = 27 d 4 1 – x = 32 e 25 2x – 1 = 625 f 216 1 – 2x = 36 g (9/25) 2 – x = 27/125 h (4/9) x – 2 = 8/27 908 Löse die gegebenen Gøeichungen in R und gib die Lösung auf 5 Dezimaøen gerundet an! Führe jeweiøs auch die Probe aus! a 12 x = 7 b 16 x = 150 c 8,25 x + 1 = 20,4 d 7 2x = 23,5 e 9 ‒x = 11,5 f 5 ‒x = 15,2 g 13,7 3x – 5 = 35,8 h 12,4 2x – 3 = 24,8 909 Wie Aufg. 908. a 2 x = e b 3 x = e 2 c e 2x = 13,68 d e 3x = 1/e e 9 __ e x = 5 f 3 9 __ e x = 2 g 4,3 x = 1/e h 5,14 2x = 9 __ e 910 Wie Aufg. 908. a 3 2x – 1 = 2 x + 3 b 5 x + 1 = 7 x – 1 c 4,25 2x + 3 = 6,05 x – 2 d 8,63 x – 3 = 5,28 2x + 1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv