Reichel Mathematik 6, Schulbuch

22 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Das vektorielle Produkt – Definition und Anwendungen 1. Orthogonale Richtungen berechnen Wie aus der Figur ersichtlich gibt es im Raum zu einem vorgegebenen Vektor _ À a unendlich viele orthogonale Richtungen und demgemäß unend- lich viele orthogonale Vektoren. Bei der Ermittlung von Orthogonalvektoren kann man im Allgemeinen zwei Koordinaten frei wählen; vorteilhafterweise wählt man wann immer das geht (bei bestimmten Lagen – Weøchen ? – ist das nicht möglich) eine Null vor. Die dritte Koordinate berechnet man dann aus dem Ortho- gonalitätskriterium. Beispiel J Gib Vektoren _ À b an, die zum Vektor _ À a = (3 1 0 1 ‒6) orthogonaø sind! Lösung: Man erhäøt zB bei Vorwahø von _ À b = (x b 1 2 1 1) aus 3·x b + 0·2 + (‒6)·1 = 0 für x b = 2, aøso den Vektor _ À b = (2 1 2 1 1). Mögøich wäre auch die Vorwahø einer Nuøø gewesen – entweder an der y-Koordinate (zB _ À b = (x b 1 0 1 1) mit dem Ergebnis _ À b = (2 1 0 1 1)) oder an der z-Koordinate (zB _ À b = (x b 1 2 1 0) mit dem Ergebnis _ À b = (0 1 2 1 0)). Die Vorwahø von zwei Nuøøen kann (muss aber nicht) probøematisch sein. So øiefert die Vorwahø von zB _ À b = (0 1 y b 1 0) unendøich vieøe Ergebnisvektoren, etwa _ À b = (0 1 2 1 0) oder auch _ À b = (0 1 ‒5 1 0), während die Vorwahø von _ À b = (x b 1 0 1 0) aøs Ergebnis den Nuøøvektor (0 1 0 1 0) bringt, der jedoch für konstruktive Zwe- cke unbrauchbar ist. 2. (Orthogonale) Dreibeine ermitteln Dreibeine – denke an das (kartesische) Koordinatensystem, an die Festlegung von Quadern, Würfeln und Parallelepipeden durch drei Kanten usw. – sind wichtige, häufig gebrauchte Gebilde. Beispiel K Gib einen Vektor an, der sowohø zum Vektor _ À a = (‒3 1 6 1 0) aøs auch zum Vektor _ À b = (4 1 ‒2 1 3) orthogonaø ist! Wie vieøe Lösungen hat die Aufgabe? Wie vieøe zusätzøiche Bedingungen braucht man (mindes- tens), damit die Aufgabe eine eindeutige Lösung erhäøt? Lösung: Da wir an die drei Koordinaten eines Lösungsvektors zwei Bedingungen – genauer: zweimaø die Orthogonaøitätsbedingung – steøøen, kann man wegen 3 – 2 = 1 eine Koordinate frei wähøen . ZB führt die Vorwahø _ À c = (x c 1 y c 1 8) auf das øineare Gøeichungssystem _ À a © _ À c É ‒3·x + 6·y + 0·8 = 0 _ À b © _ À c É 4·x – 2·y + 3·8 = 0 mit der Lösung x = ‒8 und y = ‒4; dh. _ À c = (‒8 1 ‒4 1 8) steht zu _ À a und _ À b orthogonaø. Da auch jeder zu _ À c koøøineare Vektor zu _ À a und _ À b orthogonaø steht, gibt es unendøich vieøe Lösungen. Durch Hinzunahme der Forderung: „Der Vektor _ À c soøø eine vorgegebene Länge besitzen“ – wir wähøen zB 3 – reduziert sich die Anzahø der Lösungen auf zwei: _ À c 1 und _ À c 2 . _ À c 1 = 3· _ À c 0 = 3· 1 __________ 9 ______ __ (‒8) 2 + ( ‒4) 2 + 8 2 · “ ‒8 ‒4 8 § = “ ‒2 ‒1 2 § Die zweite Lösung øiefert der zu _ À c 1 entgegengesetzte Vektor _ À c 2 = (2 1 1 1 ‒2). Fordert man zusätzøich, dass _ À a, _ À b und _ À c ein Rechtsdreibein biøden, so erhäøt man eine eindeutige Lösung, nämøich _ À c 2 . 1.5 Fig. 1.12 z y x 0 a F 1.12 A 66 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv