Reichel Mathematik 6, Schulbuch

23 1.5 Das vektorielle Produkt – Definition und Anwendungen 1 Bemerkungen: 1) Die von einem festen Punkt ausstrahlenden Pfeile ( _ À a , _ À b , _ À c ) bil- den ein Rechtsdreibein , wenn ein Pfeil in einen zum zyklisch nachfolgenden Pfeil kollinearen Pfeil durch eine Rechtsdrehung (dh. jeweils von der Spitze des unbeteiligten Pfeils gesehen durch eine Drehung um weniger als 180° in mathematisch posi- tivem Drehsinn) übergeht. Veranschaulichen und merken kann man sich den Sachverhalt mit der „Rechten-Hand-Regel“. Erøäu- tere ! 2) Falls (anders als in Beispiel K) zusätzlich auch _ À a zu _ À b orthogo- nal ist, so bilden _ À a und _ À b ein so genanntes orthogonales Drei- bein . Liegt zudem ein Rechtsdreibein vor, so spricht man von einem orthogonalen Rechtsdreibein . 3) Haben außerdem alle drei Vektoren die Länge 1 , so spricht man von einem orthonormierten Rechtsdreibein ; dieses lässt sich durch eine geeignete Bewegung mit dem Koordinatenkreuz des räumlichen kartesischen Koordinatensystems zur Deckung brin- gen. Erøäutere ! 3. Das vektorielle Produkt kennen und berechnen Die Aufgabenstellung in Beispiel K ist insbesondere für den Fall, in dem die Länge des Vektors _ À c den Flächeninhalt des von _ À a und _ À b „aufgespannten“ Parallelogramms angeben soll, für Anwendungen so wichtig, dass man dafür eine eigene Rechenoperation erklärt hat: Definition Das vektorieøøe Produkt _ À a × _ À b zweier Vektoren _ À a und _ À b bestimmt einen Vektor mit foøgenden Eigenschaften: 1) _ À a × _ À b steht sowohø zu _ À a aøs auch _ À b normaø. 2) † _ À a × _ À b † gibt den Føächeninhaøt des von den Vektoren _ À a und _ À b aufgespannten Paraøøeøogramms an. 3) Das geordnete Vektortripeø ( _ À a 1 _ À b 1 _ À a × _ À b) biødet unter der Voraus- setzung, dass _ À a und _ À b nicht koøøinear sind, ein Rechtssystem. Bemerkung: Wegen der Verwendung des Verknüpfungszeichens „ × “ spricht man auch vom Kreuzprodukt und vom Kreuzproduktvektor . Zur Herleitung einer Formel für den Kreuzproduktvektor gehen wir wie folgt vor. Die in der Definition aufgestellten Forderungen an den „neuen“ Normalvektor – den wir daher auch mit _ À n bezeichnen – füh- ren unter Bezugnahme auf das Orthogonalitätskriterium und die VF-Formel auf Seite 19 auf das folgen- de Gleichungssystem: I: _ À a © _ À n É _ À a· _ À n = 0 É x a x n + y a y n + z a z n = 0 II: _ À b © _ À n É _ À b· _ À n = 0 É x b x n + y b y n + z b z n = 0 III: x n 2 + y n 2 + z n 2 = (y a z b – y b z a ) 2 + (x a z b – x b z a ) 2 + (x a y b – x b y a ) 2 Drückt man aus dem System ( I ; II ) die Koordinaten x n und y n mit Hilfe von z n aus, so erhält man: x n = y a z b – y b z a ______ x a y b – x b y a ·z n und y n = ‒ x a z b – x b z a ______ x a y b – x b y a ·z n Durch Einsetzen dieser Ausdrücke in die Gleichung III sieht man: Die Gleichung wird genau dann er- füllt, wenn z n = x a y b – x b y a ist. Daraus folgt x n = y a z b – y b z a und y n = ‒(x a z b – x b z a ) . y x z „Rechte-Hand-Regel“ Fig. 1.13 F 1.13 z y x 0 a b c Fig. 1.14 F 1.14 a b a bx Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv