Reichel Mathematik 6, Schulbuch

24 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Leicht merken kann man sich die Koordinaten des Kreuzproduktvektors _ À a × _ À b in Form der Regel Kreuzproduktregeø: Im R 3 (und nur in diesem) existiert zu den Vektoren _ À a = “ x a y a z a § und _ À b = “ x b y b z b § der Kreuzproduktvektor _ À a × _ À b = “ † y a z a y b z b † ‒ † x a z a x b z b † † x a y a x b y b † § . Beispiel K Fortsetzung Löse mitteøs der Kreuzproduktregeø! Lösung: Wir berechnen zunächst _ À a × _ À b: “ ‒3 6 0 § × “ 4 ‒2 3 § = “ ‒ † 6 0 ‒2 3 † † ‒3 0 4 3 † † ‒3 6 4 ‒2 † § = = “ 6·3 – 0·(‒2) ‒((‒3)·3 – 0·4) (‒3)·(‒2) – 6·4 § = “ 18 9 ‒18 § Nun stauchen wir den Vektor _ À a × _ À b auf die Länge 1 und strecken ihn anschøießend auf die gewünschte Länge 3: _ À c = ( _ À a × _ À b) 0 ·3 = “ 18 9 ‒18 § · 1 __________ 9 ___ _ __ 18 2 + 9 2 + (‒18) 2 ·3 = “ 2 1 ‒2 § Die zweite Lösung ist ‒ _ À c = (‒2 1 ‒1 1 2). Bemerkungen: 1) Falls die Vektoren _ À a und _ À b Vektoren des R 2 sind, füllt man die fehlenden z-Koordinaten jeweils mit der Zahl null auf. 2) Merkregel: Die erste (zweite, dritte) Determinante erhält man durch „Zudecken“ der ersten (zweiten, dritten) Zeile in den Spaltenvektoren von _ À a und _ À b . Erøäutere ! 4. Rechengesetze und Eigenschaften des vektoriellen Produktes kennen und beweisen Regel Rechengesetze für das vektorieøøe Produkt: Für beøiebige Vektoren _ À a, _ À b, _ À c * R 3 sowie Zahøen v, w * R giøt: 1) _ À a × _ À b = ‒( _ À b × _ À a) 2) _ À a × _ À o = _ À o 3) _ À a × _ À a = _ À o 4) † _ À a × _ À b † = † _ À a † · † _ À b † ·sin ¼ ( _ À a, _ À b) 5) _ À a × _ À b = _ À o É _ À a u _ À b, dh. _ À a und _ À b sind koøøinear 6) _ À a × ( _ À b ± _ À c) = ( _ À a × _ À b) ± ( _ À a × _ À c) 7) v·( _ À a × _ À b) = (v· _ À a) × _ À b = _ À a × (v· _ À b) 8) _ À a × _ À b = _ À a × ( _ À b + v· _ À a) = ( _ À a + w· _ À b) × _ À b Bemerkungen: 1) Das Assoziativgesetz _ À a × ( _ À b × _ À c) = ( _ À a × _ À b) × _ À c gilt nicht! Begründe ! 2) Ebenso gibt es kein Kommutativgesetz. An seine Stelle tritt das Alternativgesetz _ À a × _ À b = ‒( _ À b × _ À a) . Begründe ! Fig. 1.15 F 1.15 A 72 A 73 150501-024 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv