Reichel Mathematik 6, Schulbuch

25 1.5 Das vektorielle Produkt – Definition und Anwendungen 1 5. Anwendung des vektoriellen Produktes in der Physik kennen Fig. 1.16 zeigt einen Gabelschlüssel, mit dem auf eine Schraub- mutter eine „Kraft“ ausgeübt wird. Diese „Kraft“ ist aber von Kräften, die längs Wirkungslinien angreifen, völlig verschie- den. Man übt ja mit dem Schlüssel keinen „Zug“ oder „Druck“ (in Richtung der Wirkungslinie der Kraft) aus, sondern will ei- ne „Drehung“ der Schraubmutter bewirken. Man spricht daher nicht von einer „Kraft“, sondern von einem „Drehmoment“ (genauer: von einem „statischen Moment“), welches im Dreh- punkt angreift. Wodurch kann man das Moment beschreiben? Sinnvollerweise sollte diese Beschreibung die Drehachse, die Länge des Hebelarmes und die Zugkraft enthalten . Vereinbarungsgemäß geschieht dies durch den Pfeil __ À m , der wie folgt definiert ist: 1) † __ À m † steht auf die vom Hebel _ À a und der (Wirkungslinie der) Zugkraft _ À b aufgespannten Ebene normal und gibt somit die Richtung der Drehachse an. 2) † __ À m † ist † _ À b † ·d (denke an das Hebelgesetz: „Kraft mal Kraftarm“), also gleich der Maßzahl des Flächen- inhaltes des grau unterlegten Rechtecks, welches mit dem von _ À a und _ À b aufgespannten (grün unterleg- ten) Parallelogramm flächengleich ist. Begründe! 3) Je nach Dreh-„Richtung“ (besser Drehsinn) weist __ À m nach oben oder nach unten. Durch Vergleich mit der Definition des vektoriellen Produktes sieht man: Das statische Moment kann durch _ À a × _ À b beschrieben werden. 59 Berechne den Kreuzproduktvektor der Vektoren _ À a und _ À b! a _ À a = (‒3 1 0 1 0), _ À b = (0 1 2 1 0) b _ À a = (1 1 1 1 0), _ À b = (‒1 1 1 1 0) c _ À a = (3 1 4 1 0), _ À b = (3 1 1 1 0) d _ À a = (‒2 1 1 1 0), _ À b = (2 1 2 1 0) e _ À a = (0 1 2 1 1), _ À b = (0 1 1 1 1) f _ À a = (3 1 0 1 1), _ À b = (2 1 0 1 2) g _ À a = (0 1 ‒1 1 3), _ À b = (0 1 3 1 1) h _ À a = (2 1 ‒3 1 0), _ À b = (1 1 1 1 0) 60 Berechne die Koordinaten des fehøenden Eckpunktes und den Føächeninhaøt des Paraøøeøogramms ABCD mit Hiøfe des vektorieøøen Produktes! a A (2 1 1 1 5), B (3 1 ‒2 1 1), C (‒4 1 5 1 ‒1) b A (‒1 1 4 1 3), B (5 1 1 1 ‒1), D (8 1 ‒1 1 4) c A (5 1 2 1 ‒3), C (‒7 1 4 1 1), D (‒2 1 ‒3 1 5) d B (2 1 4 1 5), C (3 1 ‒8 1 2), D (5 1 ‒6 1 ‒3) 61 Berechne mit Hiøfe des vektorieøøen Produktes den Føächeninhaøt des Dreiecks ABC! a A (‒9 1 ‒8), B (9 1 16), C (‒12 1 ‒4) b A (‒2 1 ‒8), B (19 1 20), C (‒11 1 4) c A (4 1 ‒3 1 1), B (3 1 4 1 2), C (‒3 1 ‒1 1 ‒7) d A (4 1 4 1 ‒2), B (‒4 1 2 1 6), C (1 1 ‒2 1 4) 62 Überøege anhand der Figur und fasse das Ergebnis in einem kurzen Aufsatz zusammen ! Føächeninhaøte (von Dreiecken und daraus zusammengesetzten ebenen Figuren) waren bisher immer positive Zahøen. Warum ist es nun im Zusammenhang mit dem Kreuzprodukt mögøich und auch sinnvoøø, sowohø von positiven aøs auch von negativen Føächeninhaøten zu sprechen, aøso Føächen(inhaøte) zu orientieren ? Wie hängt dies mit dem Umøaufsinn der Beschriftung der Eckpunkte der Figur und den Begriffen „Oberseite“ und „Unterseite“ oder „Vorderseite“ und „Hinterseite“ zusammen? 63 1 Wie kann man die VF-Formeø eøegant mitteøs des Kreuzproduktes anschreiben? 2 Kann diese Formeø (vgø. Aufg. 62) einen orientierten Føächeninhaøt øiefern? + Fig. 1.16 b m d b a F 1.16 S 23 Fig. 1.17 C C B B A A F 1.17 S 19 150501-025 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv