Reichel Mathematik 6, Schulbuch

27 1.6 Anwendung der Vektorprodukte bei Körperberechnungen 1 Anwendung der Vektorprodukte bei Körperberechnungen 1. Vektorprodukte anwenden Das folgende Beispiel soll zeigen, wie die in den letzten Kapiteln gelernten Formeln beim Lösen kom- plexer Aufgaben zusammenspielen (können). Beispiel L Von einem Paraøøeøepiped ABCDEFGH kennt man A (4 1 2 1 0), B (0 1 5 1 0), D (10 1 0 1 3) und E (12 1 6 1 8). Berechne 1 die Größe der „Grundføäche“ ABCD, 2 die Höhe auf die „Grundføäche“, 3 das Voøumen, 4 die Größe des Winkeøs zwischen den Seitenkanten AB und AD, 5 die Koordinaten der fehøenden Eckpunkte! 6 Zeichne den Körper im Standardschrägriss! Lösung: Zwecks Vereinfachung schreiben wir (siehe Skizze) für __ À AB = _ À a, __ À AD = _ À b, __ À AE = _ À c. 1 Gemäß Eigenschaft 2) des vektorieøøen Produktes erhaøten wir den Føächeninhaøt G der „Grundføäche“, hier des Paraøøeøogramms, ABCD aøs G = † _ À a × _ À b † = † “ ‒4 3 0 § × “ 6 ‒2 3 § † = † “ 9 12 ‒10 § † = 9 ___ 325 2 Die zugehörige Höhe steht zur „Grundføäche“ normaø; ihre Länge h erhäøt man daher aøs Normaøprojektion von __ À AE = _ À c auf _ À a × _ À b. Unter Verwendung der VP-Formeø und Eigenschaft 1) des vektorieøøen Produktes ergibt sich: h = † p ( __ À AE _ À a × _ À b ) † = † _ À c·( _ À a × _ À b) 0 † = † “ 8 4 8 § · “ 9 12 ‒10 § · 1 ___ 9 __ 325 † = † 8·9 + 4·12 + 8·(‒10) ____________ 9 _ 325 † = 40 ___ 9 __ 325 3 Wie bei aøøen prismatischen Körpern berechnet man das Voøumen aøs V = G · h. Mit den Ergebnissen aus 1 und 2 erhäøt man V = 40. Wiøø man (zwecks Kontroøøe) die numerischen Ergebnisse aus 1 und 2 nicht verwenden, so be- rechnet man V = G·h = † _ À a × _ À b † · † _ À c·( _ À a × _ À b) 0 † = † _ À a × _ À b † · † _ À c·( _ À a × _ À b) † ______ † _ À a × _ À b † wobei sich offensichtøich die reøøe Zahø † ( _ À a × _ À b) † herauskürzt. Man erhäøt: V = † _ À c·( _ À a × _ À b) † = † “ 8 4 8 § · “ 9 12 ‒10 § † = 40 4 Mitteøs der VW-Formeø erhäøt man: cos ¼ ( _ À a, _ À b) = _ À a 0 · _ À b 0 = “ ‒4 3 0 § 0 · “ 6 ‒2 3 § 0 = = (‒4)·6 + 3·(‒2) + 0·3 _________________ 9 ______ __ (‒4) 2 + 3 2 + 0 2 · 9 _ __ __ 6 2 + (‒2) 2 + 3 2 = = ‒30 ___ 5·7 w ¼ ( _ À a, _ À b) = 149° 5 C = D + _ À a = (10 1 0 1 3) + (‒4 1 3 1 0) = (6 1 3 1 3) F = B + _ À c = (0 1 5 1 0) + (8 1 4 1 8) = (8 1 9 1 8) G = C + _ À c = (6 1 3 1 3) + (8 1 4 1 8) = (14 1 7 1 11) H = D + _ À c = (10 1 0 1 3) + (8 1 4 1 8) = (18 1 4 1 11) 6 Die Figur zeigt den Körper im Standardschrägriss. 1.6 x h y z 0 A B C D E G a n c b S 23 S 23 A B D E C x y z 0 F G H D I A I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv