Reichel Mathematik 6, Schulbuch

28 Räumliche Koordinatengeometrie 1 2. Inhaltsformeln mittels Vektorprodukten formulieren In mehrfacher Anwendung von Teilaufgabe 1 und 4 hätte man in Beispiel L unschwer sämtliche Kan- tenwinkel und die Oberfläche des Parallelepipeds berechnen können. Analog lassen sich Aufgaben zu (allgemeinen) dreiseitigen Prismen und (allgemeinen) dreiseitigen Py- ramiden, so genannten (allgemeinen) Tetraedern , mit konkreten oder auch allgemeinen Zahlen lösen. Letztere führen zu den folgenden Formeln. Begründe anhand der Figur im Kasten! Satz Voøumsformeø eines Paraøøeøepipeds: Das von den Vektoren _ À a, _ À b und _ À c „aufgespannte“ Paraøøeø- epiped hat das Voøumen: V = † ( _ À a × _ À b)· _ À c † Voøumsformeø eines dreiseitigen Prismas: Das von den Vektoren _ À a, _ À b und _ À c „aufgespannte“ dreiseitige Prisma hat das Voøumen: V = 1 _ 2 · † ( _ À a × _ À b)· _ À c † Voøumsformeø eines Tetraeders: Das von den Vektoren _ À a, _ À b und _ À c „aufgespannte“ Tetraeder hat das Voøumen: V = 1 _ 6 · † ( _ À a × _ À b)· _ À c † Føächenformeø eines Paraøøeøogramms: Das von den Vektoren _ À a und _ À b „aufgespannte“ Paraøøeøo- gramm hat den Føächeninhaøt: A = † _ À a × _ À b † Føächenformeø eines Dreiecks (Produktform der VF-Formeø): Das von den Vektoren _ À a und _ À b „aufgespannte“ Dreieck hat den Føächeninhaøt: A = 1 _ 2 · † _ À a × _ À b † Jedes Polyeder , dh. jeder ebenflächig begrenzte Körper, lässt sich letztlich in lauter (allgemeine) Tetraeder zerlegen. Das Tetraeder nennt man daher auch das Simplexgebilde 1 des R 3 . Da Volumen und Oberfläche des Simplex mit den obigen Formeln berechnet werden können, lassen sich auch durch (hinreichend oftmaliges) Anwenden dieser Formeln das Volumen und die Oberfläche des gegebenen Polyeders berechnen. Insbesondere kann man für viele Körper (wie Prismen, Pyramiden usw.) aus dem Volumen und der Grö- ße der „Grundfläche“ die zugehörige Körperhöhe berechnen. Erøäutere ! Jede Polygonfläche , dh. jede durch einen geschlossenen Streckenzug be- grenzte ebene Fläche, lässt sich in lauter (allgemeine) Dreiecke zerlegen. Das Dreieck nennt man daher das Simplexgebilde des R 2 . Da Flächeninhalt und Umfang des Simplex mit den obigen Formeln berechnet werden können, las- sen sich auch durch (hinreichend oftmaliges) Anwenden dieser Formeln der Flächeninhalt und der Umfang der gegebenen Polygonfläche berechnen. Ins- besondere kann man für viele Formen von Polygonflächen (Figuren wie Tra- peze, Rauten usw.) aus dem Flächeninhalt und der Länge der jeweiligen „Grundlinie“ die zugehörige Flächenhöhe berechnen. Erøäutere ! 1 simpel(lat.) … einfach Fig. 1.19a F 1.19a Fig. 1.19b F 1.19b 150501-028 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv