Reichel Mathematik 6, Schulbuch

30 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Parameterdarstellung von Strecken und Geraden 1. Die Lage eines Punktes zu einer Geraden berechnen Wie im zweidimensionalen Fall (vgl. Buch 5. Kl. S. 249) existieren die folgenden Zuordnungsgleichungen X ↔ t zwischen den Punkten X einer Geraden (bzw. Strecke) und den Werten t des Parameters, nur dass es sich hier um Punkte und Vektoren mit drei Koordinaten handelt: Satz Parameterdarsteøøung einer Strecke AB: X = A + t· __ À AB wobei t * [0; 1] Zwei-Punkt-Form der Parameterdarsteøøung einer Geraden g [A, B]: X = A + t· __ À AB, wobei t * R Punkt-Richtungsform der Parameterdarsteøøung einer Geraden: X = A + t· _ À a, wobei t * R Dabei giøt: A, B … feste Punkte der Geraden (Strecke) X …… variabøer („øaufender“) Punkt der Geraden (Strecke) _ À a …… (irgend-)ein (mögøichst „einfacher“) Richtungsvektor der Geraden (Strecke) t …… Parameter (variiert in einem anzugebenden Laufbereich oder Parameterraum ) Ein beliebiger Punkt P kann zu einer Geraden g zwei Lagen einnehmen; er liegt auf ihr, dh. P * g oder er liegt nicht auf ihr, dh. P + g . Rechnerisch entscheiden lässt sich dies zB mit dem Satz Inzidenzkriterium: Ein Punkt øiegt genau dann auf einer durch eine Parameterdarsteøøung festgeøeg- ten Geraden (bzw. Strecke), wenn seine Koordinaten die Gøeichung erfüøøen; dh., wenn dem Punkt genau ein Parameterwert zugeordnet werden kann. Beispiel M Gib eine „mögøichst einfache“ Parameterdarsteøøung 1 der Schwerøinie s b , 2 der Trägergeraden der Schwerøinie s b im Dreieck A (0 1 0 1 ‒1), B (4 1 9 1 ‒2), C (4 1 10 1 5) an! 3 Überprüfe, ob der gemäß S. 16 ermit- teøte Schwerpunkt tatsächøich auf s b øiegt! Lösung: Die Schwerøinie s b ist eine Strecke, weøche den Haøbierungspunkt H b der Seite b = AC mit dem Eck- punkt B verbindet: H b = 1/2·(A + C) w H b (2 1 5 1 2) w X = B + t· ___ À BH b = “ 4 9 ‒2 § + t· “ ‒2 ‒4 4 § wobei 1 t * [0; 1] wobei 2 t * R Zur „Vereinfachung“ kann man den Richtungsvektor (‒2 1 ‒4 1 4) koøøinear verformen zu (1 1 2 1 ‒2), wobei sich dann aøøerdings bei Punkt 1 das Parameterintervaøø auf [‒2; 0] ändert. 3 S = A + B + C ______ 3 = “ 8/3 19/3 2/3 § = “ 4 9 ‒2 § + t· “ ‒2 ‒4 4 § w t = 2/3 w t = 2/3 w t = 2/3 w S * s b 2. Abstand eines Punktes von einer Geraden berechnen Liegt ein Punkt P nicht auf der Geraden (Strecke) g , so hat er einen von null verschiedenen Abstand d (P, g) . Dieser ist als Normalabstand definiert und lässt sich gemäß Fig. 1.20 – Begründe ! – wie folgt be- rechnen : Satz Abstand d (P, g) eines Punktes P von einer Geraden g: d (P, g) = † __ À AP × __ À a 0 † , wobei g: X = A + t· _ À a Bemerkung: Anders als die HESSE’sche Abstandsformel d (P, g) (vgl. Buch 5. Kl. S. 251) kann diese For- mel für Geraden sowohl im R 3 als auch im R 2 angewendet werden, wobei im letzteren Fall die z-Koordi- naten mit Nullen „aufgefüllt“ werden müssen, um das Kreuzprodukt bilden zu können. 1.7 Fig. 1.20 g F X 1 X 3 X 2 P d A 93 A 94 150501-030 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv