Reichel Mathematik 6, Schulbuch

31 1.7 Parameterdarstellung von Strecken und Geraden 1 3. Die Lage einer Geraden zum Koordinatensystem feststellen Ob eine Gerade zum Koordinatensystem eine allgemeine oder eine spezielle Lage hat, lässt sich mit dem Parallelitäts- und Orthogonalitätskriterium leicht feststellen . Schwieriger ist die Veranschaulichung ihrer Lage (etwa im Standardschrägriss). Ein bewährter Weg führt über Spurpunkte: Definition Die Schnittpunkte einer Geraden mit den Koordinatenebenen heißen Spurpunkte . Weøche Bedingung müssen die Koordinaten eines Spurpunktes erfüøøen ? Die Koordinaten eines Spurpunktes müssen die gegebene Gleichung der Geraden erfüllen und (mindes- tens) eine Koordinate muss null sein. Man erhält für x = 0 den in π 2 liegenden 2. Spurpunkt S 2 , für y = 0 den in π 3 liegenden 3. Spurpunkt S 3 , für z = 0 den in π 1 liegenden 1. Spurpunkt S 1 . Beispiel N Zeichne die durch X = (2 1 2 1 1) + t·(‒2 1 1 1 1), t * R , gegebene Gerade mitteøs des 1. und 2. Spurpunktes im Standardschräg- riss mit materiaøisierten Koordinatenebenen! Lösung: x = 2 – 2 t w x = 4 S 1 y = 2 + t w y = 1 z = 0 w 0 = 1 + t w t = –1 aøso S 1 (4 1 1 1 0) x = 0 w 0 = 2 – 2 t w t = 1 S 2 y = 2 + t w y = 3 z = 1 + t w z = 2 aøso S 2 (0 1 3 1 2) 4. Parameterdarstellungen des Grund-, Auf- und Kreuzrisses einer Geraden angeben Selbst Spurpunkte lassen „Sonderlagen“ einer Geraden zum Koordinatensystem oft nur schwer aus dem Schrägriss erkennen . Abhilfe schafft das Einzeichnen des Grundrisses – oder auch des Auf- bzw. Kreuzrisses – der Geraden. Da man die Koordinaten des Grundrisses P' eines Punktes P durch Nullset- zen der z-Koordinate von P erhält und der Grundriss g' der Geraden g aus den Grundrissen aller Punkte P von g besteht, hat man die z-Koordinate aller Punkte von g null zu setzen. Begründe und überøege anaøog für den Aufriss und den Kreuzriss ! Beispiel N (Fortsetzung) Ermittøe eine Parameterdarsteøøung des Grundrisses g', des Aufrisses g'' und des Kreuzrisses g''' von g! Zeichne aøøe Gera- den im Standardschrägriss! Lösung: g: X = “ 2 2 1 § + t· “ ‒2 1 1 § w g': X = “ 2 2 0 § + t· “ ‒2 1 0 § w g'': X = “ 0 2 1 § + t· “ 0 1 1 § w g''': X = “ 2 0 1 § + t· “ ‒2 0 1 § Bemerkung: g’’ fäøøt in der Zeichnung (nicht im Raum!) mit g zusammen und ist daher zur Erhöhung der Anschauøichkeit ungeeignet. A 92 y x z 0 1 1 1 g S 1 S 2 + A 91 A 96 y x z 0 1 1 1 g S 1 S 2 S 3 g I g II g III Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv