Reichel Mathematik 6, Schulbuch

33 1.8 Lagebeziehungen zweier Geraden 1 Lagebeziehungen zweier Geraden 1. Lagebeziehungen untersuchen Zwei im Raum liegende Geraden g und h sind durch die Parameterdarstellungen g: X = G + t· _ À g und h: X = H + s· _ À h gegeben. Für ihre Lage zueinander kommen folgende Fälle mit folgenden Eigenschaften in Frage: identisch parallel schneidend windschief (kreuzend) g e h g u h g × h g kr. h g ° h = g = h g ° h = { } g ° h = {S} g ° h = { } G * h, H * g G + h, H + g Æ v * R : _ À g = v· _ À h Å v * R : _ À g ≠ v· _ À h Daraus ergibt sich der folgende Entscheidungsbaum zur Lagebestimmung : Beispiel O Ermittøe gemäß Fig. 1.22 rechnerisch die gegenseitige Lage der beiden Geraden g: X = (1 1 4 1 3) + t·(‒1 1 2 1 3) und h: X = (3 1 6 1 4) + s·(1 1 2 1 2)! Lösung: Die Richtungsvektoren sind wegen ‒1 = v·1 w v = ‒1 2 = v·2 w v = 1 3 = v·2 w v = 1,5 nicht koøøinear. Die beiden Geraden sind daher schneidend oder kreuzend. Wir überprüfen, ob es einen Schnittpunkt gibt: 1 – 2 t = 3 + s 4 + 2 t = 6 + 2 s 3 + 3 t = 4 + 2 s w ‒1 + t = ‒2 w t = ‒1 w s = ‒2 w f. A. Da es kein Paar (s 1 t) von Parameterwerten gibt, für weøches aøøe drei Gøeichungen erfüøøt sind, existiert kein Schnittpunkt. Die beiden Geraden sind zueinander windschief. Mit dieser Methode kann man – sofern das nicht sowieso offensichtlich ist – insbesondere auch fest- stellen, ob eine Gerade zu einer der Koordinatenachsen parallel ist oder sogar mit ihr zusammenfällt. 1.8 G H Fig. 1.21a G H Fig. 1.21b S G H Fig. 1.21c G H Fig. 1.21d F 1.22 g = v . h Eingabe : G, g, H, h Ausgabe : g h H * g Ausgabe: g h Ausgabe: g h ja ja nein nein Ausgabe: g kreuzend h ja Existiert ein Schnittpunkt ? nein e || Fig. 1.22 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv