Reichel Mathematik 6, Schulbuch

34 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Beispiel P Ermittøe durch Rechnung die gegenseitige Lage der beiden Geraden g: X = (1 1 2 1 3) + t·(‒1 1 3 1 1) und h: X = (2 1 4 1 0) + s·(2 1 ‒6 1 ‒2)! Lösung: Die Richtungsvektoren sind wegen (2 1 ‒6 1 ‒2) = (‒2)·(‒1 1 3 1 1) koøøinear. Die Geraden sind daher paraøøeø oder identisch. Da der gegebene feste Punkt (1 1 2 1 3) von g wegen 1 = 2 + 2 s w s = ‒0,5 2 = 4 – 6 s w s = 1/3 3 = 0 – 2 s w s = ‒1,5 nicht auf der Geraden h øiegt, giøt: g und h haben paraøøeøe Lage , sind aber nicht identisch. Lagebeziehungen kann man teilweise auch durch Winkel- und Abstandsberechnungen untersuchen: 2. Maßaufgaben lösen – Winkel und Abstände berechnen Den Winkel zwischen zwei Geraden g und h definiert man als jenen Winkel, den die Richtungsvektoren von g und von h einschließen: ¼ (g, h) = ¼ ( _ À g, _ À h) Veranschauøiche in einer Skizze! Begründe, dass es egaø ist, weøchen Richtungsvektor von g und weøchen von h man konkret verwendet, und dass g und h genau genommen zwei Winkeø einschøie- ßen, die einander auf 180° ergänzen! Den Abstand d zweier Geraden g und h definiert man ganz allgemein als den minimalen Abstand, den zwei Punkte G und H haben können, wobei G auf g und H auf h liegt. Erøäutere! Definition ¼ (g, h) = ¼ ( _ À g, _ À h) d (g, h) = min d (G, H) mit G * g, H * h Im Fall paralleler Geraden können wir das Problem gemäß Fig. 1.21 auf die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden zurückführen: d (g, h) = d (G, h) = d (H, g) Begründe und wiederhoøe die Berechnungsformeø von S. 30! Im Fall windschiefer Geraden liegt die kürzeste Verbindungsstrecke ge- mäß der Figur auf dem (eindeutig bestimmten!) gemeinsamen Lot – kurz: Gemeinlot – n von g und h und kann durch Projektion von __ À GH auf _ À n mit der VP-Formel berechnet werden. Begründe! Bemerkung: Das Gemeinlot existiert auch bei schneidenden Geraden. In- sofern „existiert“ insbesondere auch für zwei schneidende Geraden ein „Abstand“, der allerdings null ist. Satz Abstand d (g, h) windschiefer (bzw. schneidender ) Geraden: d (g, h) = † __ À GH·( _ À g × _ À h) 0 † wobei X = G + t· _ À g und h: X = H + s· _ À h Beispiel O (Fortsetzung) Zeige 1 durch Berechnung des Winkeøs φ zwischen g und h, dass diese nicht paraøøeø sind, 2 durch Berechnung ihres Abstandes, dass sie windschief sind! Lösung: 1 cos φ = __ À g 0 · __ À h 0 = “ ‒1 2 3 § · “ 1 2 2 § ________________ 9 ____ __ _ (‒1) 2 + 2 2 + 3 2 · 9 __ __ 1 2 + 2 2 + 2 2 = (‒1)·1 + 2·2 + 3·2 ___________ 9 _ 14· 9 __ 9 ≈ 0,8018 w φ ≈ 36,70° 2 d (g, h) = † __ À GH·( _ À g × _ À h) 0 † = † “ “ 3 6 4 § – “ 1 4 3 § § · “ “ ‒1 2 3 § × “ 1 2 2 § § 0 † = † “ 2 2 1 § · “ ‒2 5 ‒4 § 0 † = † 2·(‒2) + 2·5 + 1·(‒4) ____________ 9 ______ __ (‒2) 2 + 5 2 + (‒4) 2 † ≈ 0,3 h g G H Fig. 1.23 F 1.23 150501-034 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv