Reichel Mathematik 6, Schulbuch

36 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Parameterdarstellung einer Ebene 1. Parameterdarstellungen von Dreiecksgebieten und Ebenen angeben Durch Angabe von drei allgemein liegenden Punkten ist nicht nur ein Dreieck(sgebiet), sondern auch dessen Trägerebene ε festgelegt. Gemäß Fig. 1.24 und der APPEnd-Regel kann man jeden Punkt X eines abgeschlossenen bzw. offenen 1 Dreiecksgebietes ABC bzw. seiner Trägerebene ε = [A, B, C] wie folgt ko- ordinatisieren. Begründe! X = A + s· __ À AB + t· __ À AC s * [ 0; 1]; t * [0; 1]; s + t ª 1 abgeschlossen X = A + s· __ À AB + t· __ À AC s * ] 0; 1[; t * ]0; 1[; s + t < 1 offen X = A + s· __ À AB + t· __ À AC s, t * R Definition Aøs Parameterdarsteøøung einer Ebene bezeichnet man die Gøeichung X = A + s· _ À a + t· _ À b s, t … Parameter (s, t * R ) X … „øaufender“ Punkt der Ebene A … (irgend)ein „fester“ Punkt der Ebene _ À a, _ À b … Steøøungsvektoren der Ebene ( _ À a û _ À b) Diese Gleichung weist jedem Punkt X * ε ein geordnetes Zahlenpaar ( s 1 t ) * R 2 zu, und umgekehrt ist je- dem geordneten Zahlenpaar ( s 1 t ) * R 2 ein Punkt X * ε zugeordnet, dh.: ( s 1 t ) * R 2 ¥ ¥ 1 1 X * ε Setze die Tabeøøe fort! Man sieht: Die Zahlen s und t fungieren sozusagen als Koordinaten in einem schiefwinkeligen Koordi- natensystem (Buch 5. Kl. S. 260), dessen Ursprung im Punkt A liegt. Die (notwendigerweise nicht-kolli- nearen) Stellungsvektoren __ À AB = _ À a und __ À AC = _ À b der Ebene legen die orientierten Einheitsstrecken dieses Koordinatensystems fest. Begründe! Beispiel Q Gib eine Parameterdarsteøøung der Trägerebene des Dreiecks 1 A (2 1 1 1 0), B (4 1 ‒2 1 ‒1), C (3 1 3 1 ‒4), 2 A (2 1 3 1 1), B (4 1 2 1 0), C (6 1 1 1 ‒1) an! Lösung: 1 ε : X = “ 2 1 0 § + s· “ 2 ‒3 ‒1 § + t· “ 1 2 ‒4 § 2 __ À AB ist koøøinear zu __ À AC. Das „Dreieck“ ist ausgeartet und spannt daher keine Ebene auf. Bemerkung: Die Lösung 1 in Bsp. Q ist naheliegend, nichtsdestoweniger gibt es (wie schon bei der Pa- rameterdarstellung einer Geraden) auch andere (sogar unendlich viele) Parameterdarstellungen. Statt A hätte man genauso gut auch B oder C als „festen“ Punkt verwenden und andere Seiten des Dreiecks als Stellungsvektoren heranziehen können. Erøäutere! 1 Abgeschlossen ( offen ) heißt, dass der Rand zum Gebiet dazu ( nicht dazu ) gehört. 1.9 A B C X 1 X 3 X 2 b a Fig. 1.24 Zahlenpaar Punkt (0 1 0) A (1 1 0) B (0 1 1) C (1 1 1) X 1 (3 1 1) X 2 (‒1 1 2) X 3 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv