Reichel Mathematik 6, Schulbuch

37 1.9 Parameterdarstellung einer Ebene 1 2. Die Lage eines Punktes zu einer Ebene berechnen Analog zu S. 30 gilt der Satz Inzidenzkriterium: Ein Punkt øiegt genau dann in der durch eine Parameterdarsteøøung festgeøegten Ebene, wenn seine Koordinaten die Gøeichung erfüøøen, dh., wenn dem Punkt genau ein Parameter- paar (s 1 t) zugeordnet werden kann. Beispiel Q (Fortsetzung) Überprüfe, ob der Punkt P (4,5 1 ‒1 1 ‒3) 1 in der Trägerebene ε des Dreiecks ABC, 2 im abgeschøossenen Dreiecksgebiet øiegt! Lösung: Aufgrund des Inzidenzkriteriums øiegt P in ε , wenn es ein Paar (s 1 t) gibt, weøches das øineare Gøeichungssystem I: 4,5 = 2 + 2 s + t II: ‒1 = 1 – 3 s + 2 t III: ‒3 = 0 – s – 4 t erfüøøt. Wir øösen das Gøeichungssystem (I, II) und erhaøten: s = 1, t = 0,5 1 Da s und t auch die Gøeichung III erfüøøen, øiegt P in ε . 2 Da diese Lösung nicht der Bedingung s * [0; 1], t * [0; 1], s + t ª 1 genügt, øiegt P gemäß 1 zwar in ε , aber außerhaøb des Dreiecks ABC. Bemerkung: Durch Berechnung des Abstandes von P (worauf wir aber erst auf S. 44 eingehen) hätten wir im obigen Beispiel Frage 1 , nicht aber Frage 2 beantworten können. Begründe! Andererseits hät- ten wir im Fall P + ε zusätzlich zur reinen Ja-Nein-Aussage des Inzidenzkriteriums eine Aussage darü- ber erhalten, ob P „nahe bei“ oder „weit weg“ von ε liegt. Erøäutere! 3. Eine Ebene durch zwei Geraden festlegen Statt durch ein Dreieck kann man eine Ebene auch durch ein Paar schneidender bzw. paralleler Gera- den festlegen. Diese Angaben kann man stets unmittelbar auf die Festlegung einer Ebene durch ein Dreieck zurückführen . Begründe! Ein Paar windschiefer Geraden spannt keine Ebene auf. Begründe! 109 Gegeben ist das Dreieck ABC. Gib je zwei verschiedene Parameterdarsteøøungen 1 der Trägerebene ε = [A, B, C], 2 des abgeschøossenen Dreiecksgebietes ABC, 3 des zugehörigen offenen Paraøøeøogramms ABCD an! a A (2 1 1 1 4), B (1 1 0 1 0), C (5 1 2 1 1) b A (0 1 2 1 3), B (4 1 4 1 3), C (6 1 2 1 5) c A (0 1 0 1 0), B (2 1 3 1 4), C (‒2 1 4 1 1) d A (3 1 2 1 ‒1), B (0 1 0 1 0), C (4 1 2 1 5) F 1.25 A B C S h ε g Fig. 1.25a A B C h g Fig. 1.25b Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv