Reichel Mathematik 6, Schulbuch

39 1.10 Allgemeine Gleichung einer Ebene – Lineare Gleichungen mit drei Variablen 1 Allgemeine Gleichung einer Ebene – Lineare Gleichungen mit drei Variablen 1. Parameterdarstellungen in allgemeine Ebenengleichungen umrechnen So einfach die Parameterdarstellung einer Ebene aufzustellen ist, so umständlich ist oftmals ihre An- wendung. Wie schon im zweidimensionalen Fall (vgl. Buch 5. Kl. S. 256) arbeitet man daher meist lieber mit einer parameterfreien Ebenengleichung, in der eine unmittelbare Beziehung zwischen den Koordi- naten x , y und z jedes in der Ebene gelegenen Punktes X hergestellt wird. Man erhält diese Gleichung, indem man die beiden Parameter s und t gemäß dem Additionsverfahren (nach GAUSS) (vgl. Buch. 5. Kl. S. 168) eliminiert. Beispiel R Leite (vgø. Beispieø Q) eine parameterfreie Gøeichung für ε her! ε : X = “ 2 1 0 § + s · “ 2 ‒3 ‒1 § + t · “ 1 2 ‒4 § Lösung: Wir schreiben die Parameterdarsteøøung in Form des Gøeichungssystems I: x = 2 + 2 s + t II: y = 1 – 3 s + 2 t III: z = 0 – s – 4 t Dann eøiminieren wir zunächst den einen Parameter, zB t 4·I + III: 4 x + z = 8 + 7s 2·II + III: 2 y + z = 2 – 7s und anschøießend den anderen Parameter, aøso s, und erhaøten 4 x + 2 y + 2 z = 10 bzw. nach Division durch 2 die „einfachere“ parameterfreie Gøeichung 2 x + y + z = 5 Offensichtlich ist die Darstellung dieser Ebene durch eine parameterfreie Gleichung nicht eindeutig, denn jede zu 2 x + y + z = 5 proportionale Gleichung (die durch Multiplikation mit einer von null ver- schiedenen Zahl aus der Gleichung 2 x + y + z = 5 entsteht) beschreibt ebenfalls die gegebene Ebene. In Verallgemeinerung von Beispiel R gilt: Erhält man schon beim Eliminieren des einen Parameters eine Gleichung, in der auch der andere Parameter fehlt, so ist diese Gleichung bereits eine parameterfreie Gleichung der Ebene. Fehlen in einer der Gleichungen I , II oder III von vornherein beide Parameter (was nur bei einer einzigen der drei Gleichungen eintreten kann), so braucht man überhaupt nicht zu rech- nen: diese Gleichung ist bereits eine parameterfreie Darstellung der Ebene. Halten wir fest: Durch Elimination der Parameter s und t erhält man aus der Parameterdarstellung der Ebene stets eine Gleichung der Form a·x + b·y + c·z = d mit a , b , c , d * R , wobei allerdings einzelne Koeffizienten null sein können. Ist umgekehrt durch eine Gøeichung der Form a·x + b·y + c·z = d mit a, b, c, d * R stets eine Ebene festgeøegt? Die Antwort ist nein. Beispielsweise beschreibt die Gleichung 0 x + 0 y + 0 z = 0 für G = R × R × R keine Ebene, sondern den gesamten dreidimensionalen Raum, weil ja die Koordinaten jedes Punktes des Raumes diese Gleichung erfüllen. Ebenso beschreibt die Gleichung 0 x + 0 y + 0 z = 3 keine Ebene, sondern die leere Menge, weil ja kein Punkt des Raumes mit seinen Koordinaten diese Gleichung zu erfüllen vermag. 1.10 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv