Reichel Mathematik 6, Schulbuch

40 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Um diese beiden ausgearteten Fälle auszuschließen, gibt man die Definition Aøs øineare Gøeichung mit drei Variabøen bezeichnet man eine Gøeichung der Bauart a·x + b·y + c·z = d a, b, c, d * R , (a 1 b 1 c) ≠ (0 1 0 1 0) Die Ausdrücke a·x, b·y und c·z heißen øineare Gøieder , die Zahø d heißt absoøutes Gøied . Im Faøø d = 0 heißt die Gøeichung homogen , im Faøø d ≠ 0 heißt sie inhomogen . Dann gilt für die Grundmenge G = R × R × R = R 3 (dh. x * R , y * R , z * R ) der Satz Jede øineare Gøeichung mit drei Variabøen øegt genau eine Ebene fest. Umgekehrt kann jede Ebene durch eine øineare Gøeichung mit drei Variabøen festgeøegt werden. Bemerkung: Die Darstellung einer gegebenen Ebene durch eine lineare Gleichung ist nicht eindeutig, weil es unendlich viele (zueinander proportionale) Gleichungen gibt, die diese Ebene beschreiben, wäh- rend eine lineare Gleichung nur genau eine Ebene beschreibt. Zwischen den linearen Gleichungen mit drei Variablen und den Ebenen besteht also eine Zuordnung, die in der einen Richtung eindeutig , in der anderen Richtung unendlich vieldeutig ist. Ebene ¥ ¥ 1 • linear Gleichung ( allgemeine Ebenengleichung ) Beispiel R (Fortsetzung) 1 Liegt der Punkt P (3 1 1 1 ‒3) in der Ebene 1 ε : 2 x + y + z = 5? 2 Ändere nötigenfaøøs die z-Koordinate des Punktes P so ab, dass der entstehende Punkt _ P der Ebene angehört! Lösung: 1 Wegen 2·3 + 1 + (‒3) = 4 ≠ 5 øiegt der Punkt P nicht in der Ebene ε . 2 Aus 2·3 + 1 + z = 5 erhäøt man z = ‒2, dh., _ P (3 1 1 1 ‒2) øiegt in der Ebene ε . 2. Allgemeine Ebenengleichungen in Parameterdarstellungen umrechnen Berechnet man analog zur Fortsetzung von Beispiel R 2 aus der gegebenen allgemeinen Gleichung von ε irgendwelche drei Punkte (vorteilhafterweise mit möglichst einfachen Koordinaten), so kann man ge- mäß Beispiel Q eine Parameterdarstellung von ε aufstellen. 3. Die Lage einer Ebene zum Koordinatensystem feststellen Ein hervorragendes Mittel, die Lage einer Ebene zum Koordinatensys- tem zu illustrieren, ist das Spurdreieck . Seine Ecken X , Y und Z sind die Schnittpunkte der Ebene mit den Koordinatenachsen, seine Seiten liegen auf den Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinaten- ebenen. Warum können Spurdreiecke nur Ebenen darsteøøen, die durch inho- mogene øineare Gøeichungen beschrieben werden? Weil das Spurdreieck bei homogenen Gleichungen auf einen Punkt, nämlich den Ursprung, zusammenschrumpft. Jede homogene lineare Gleichung a·x + b·y + c·z = 0 besitzt ja für G = R 3 das Zahlentripel (0 1 0 1 0) als Lösung, dh. die zugehörige Ebene geht durch den Ursprung. Man sieht: Das Verschwinden des absoluten Gliedes d in der allge- meinen Ebenengleichung sagt etwas über die spezielle Lage der Ebene zum Koordinatensystem aus. 1 Wir sprechen der Einfachheit halber „von der Ebene 2x + y + z = 5 “ statt „von der durch die Gleichung 2x + y + z = 5 beschriebenen Ebene“. X Y Z z y x 1 1 1 3x +3y +4z = 12 Fig. 1.26 F 1.26 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv