Reichel Mathematik 6, Schulbuch

41 1.10 Allgemeine Gleichung einer Ebene – Lineare Gleichungen mit drei Variablen 1 Was bedeutet es, wenn in der aøøgemeinen Ebenengøeichung a·x + b·y + c·z = d die Koeffizienten a, b und c einzeøn oder paarweise (aøøe drei gøeichzeitig dürfen es ja gemäß Definition nicht) verschwin- den? Haben auch diese Ebenen spezieøøe Lagen zum Koordinatensystem? Eine teilweise Antwort darauf gibt das folgende Beispiel S Untersuche die Lage der Ebene ε : 2 x + z = 5 zum Koordinatensystem! Veranschauøiche die Ebene im Standardschrägriss durch ihr Spurdreieck! Lösung: Jeder Punkt der x-Achse hat die Koordinatendarsteøøung (x 1 0 1 0). Eingesetzt in die Ebenengøeichung erhäøt man daher für den Eckpunkt X des Spurdreiecks 2 x + 0 + 0 = 5 w x = 2,5 w X (2,5 1 0 1 0) Jeder Punkt der y-Achse hat die Koordinatendarsteøøung (0 1 y 1 0). Eingesetzt in die Ebenengøeichung erhäøt man daher für den Eckpunkt Y des Spurdreiecks 2·0 + 0·y + 0 = 5 Diese Gøeichung ist unøösbar. Die Ebene ε schneidet daher die y-Achse nicht – außer im „Fernpunkt“ Y (0 1•1 0). Mit anderen Worten: Die Ebene ist zur y-Achse paraøøeø. Jeder Punkt der z-Achse hat die Koordinatendarsteøøung (0 1 0 1 z). Eingesetzt in die Ebenengøeichung erhäøt man daher für den Eckpunkt Z des Spurdreiecks 2·0 + 0 + z = 5 w z = 5 w Z (0 1 0 1 5) Das Spurdreieck ist hier ausgeartet. Dennoch vermitteøt es einen guten Eindruck von der Lage der Ebene zum Koordinatensystem. 122 Leite aus der gegebenen Parameterdarsteøøung eine parameterfreie Ebenengøeichung her! a X = (1 1 2 1 3) + s·(2 1 0 1 ‒1) + t·(1 1 2 1 2) b X = (2 1 0 1 0) + s·(1 1 4 1 ‒1) + t·(2 1 ‒1 1 0) c X = (2 1 1 1 8) + s·(2 1 4 1 1) + t·(2 1 5 1 0) d X = (2 1 1 1 1) + s·(1 1 ‒2 1 2) + t·(3 1 0 1 1) 123 Steøøe die gegebene Ebene durch eine „einfachere“ Gøeichung dar! a 12 x – 24 y + 48 z = 144 b 36 x + 24 y – 72 z = 108 c 28 x – 63 y + 70 z = 14 d 18 x – 27y + 45 z = 90 e 40 x – 20 y + 65 z = 100 f 25 x – 15 y + 30 z = 65 g 0,4 x + 0,8 y – 0,2 z = 2 h 0,6 x + 0,8 y – 0,4 z = 3 124 Zwei der drei Gøeichungen bestimmen die gøeiche Ebene. Warum? Kreuze sie an! a 2 x + 3 y – 4 z = 5 ‒x + 1,5 y – 2 z = 2,5 ‒10 x – 15 y + 20 z = ‒25 b 3 x + 0,5 y + z = ‒3 6 x + y + 2 z = ‒6 ‒1,5 x – 0,25 y – z = 1,5 c 0,5 x – 1/6·y + z = 0,5 3 x – y + 6 z = 1/2 ‒4,5 x + 1,5 y – 9 z = ‒4,5 d ‒x + 4 y + 2 z = 0,5 4 x + 16 y – 8 z = 2 2 x + 8 y – 4 z = 1 125 Das Spurdreieck einer Ebene ist ein gøeichseitiges Dreieck. Was kann man über die Lage der Ebene zum Koordinatensystem aussagen? 126 Erøäutere, woran man erkennt, ob die Gøeichung 2 x + 3 y = 12 eine Gerade oder eine Ebene beschreibt! 127 Überprüfe, ob der Punkt P in der Ebene 2 x + 3 y – z = 8 øiegt! a P (12 1 ‒8 1 ‒8) b P (3 1 ‒1 1 ‒5) c P (4 1 3 1 8) d P (1 1 2 1 ‒1) 128 Der Punkt P øiegt in der Ebene 4 x – y + 2 z = 6. Ermittøe die fehøende Koordinate! a P (3 1 ‒6 1 z P ) b P (1 1 ‒5 1 z P ) c P (5 1 y P 1 ‒4) d P (‒1 1 y P 1 6) X z y x 1 1 1 Z 150501-041 Nur zu Prüfzw cken – Eigentum des Verlags öbv