Reichel Mathematik 6, Schulbuch

43 1.11 Normalvektorgleichung einer Ebene – Zusammenhang zwischen verschiedenen Formen von „Ebenengleichungen“ 1 Normalvektorgleichung einer Ebene – Zusammenhang zwischen verschiedenen Formen von „Ebenengleichungen“ 1. Die Normalebene auf eine Gerade durch einen Punkt berechnen Gemäß Fig. 1.27 kann eine Ebene ε durch Angabe eines in ihr liegenden Punktes A und eines Normal- vektors _ À n (bzw. einer zu ε orthogonalen Geraden g ) sozusagen „wie ein aufgespannter Regenschirm“ eindeutig festgelegt werden. Für jeden Punkt X * ε gilt offensichtlich _ À n © __ À AX und somit aufgrund des Orthogonalitätskriteriums _ À n· __ À AX = 0 Unter Anwendung der Regel „Spitze minus Schaft“ erhält man die folgende Bedingung, die von allen Punkten X der Ebene ε , und nur von diesen , erfüllt wird: _ À n·(X – A) = 0 Analog zu Buch 5. Kl. S. 256 erhält man so den Satz Normaøvektorgøeichung einer Ebene: _ À n·(X – A) = 0 X … „øaufender“ Punkt von ε A … gegebener „fester“ Punkt von ε _ À n … (irgend-)ein Normaøvektor von ε Beispiel T 1 Gib eine Normaøvektorgøeichung jener Ebene ε an, weøche durch den Punkt A (3 1 2 1 ‒1) hindurchgeht und zur Geraden g: X = (1 1 0 1 ‒3) + t·(2 1 4 1 ‒16) normaø steht! 2 Überprüfe, ob der Punkt P(‒4 1 5 1 ‒1) der Ebene angehört! Lösung: 1 “ 2 4 ‒16 § · “ X – “ 3 2 ‒1 § § = 0 2 _ À n·(P – A) = “ 2 4 ‒16 § · “ ‒7 3 0 § = ‒14 + 12 – 0 = ‒2 ≠ 0 w P + ε Bemerkung: Beachte, dass man anstelle des Normalvektors (2 1 4 1 ‒16) jeden dazu kollinearen Vektor – zB (1 1 2 1 ‒8) – hätte verwenden können. Obwohl also zu den obigen Angabeelementen A und _ À n nur genau eine Ebene existiert, gibt es für diese unendlich viele Normalvektorgleichungen. Begründe! 2. Normalvektorgleichungen und allgemeine Ebenengleichungen ineinander umrechnen Die linke Seite der Normalvektorgleichung kann man durch Anwendung der Regel „Spitze minus Schaft“ und durch „Ausmultiplizieren“ des skalaren Produktes wie folgt umformen: _ À n· __ À AX = _ À n·(X – A) = _ À n·X – _ À n·A = x n ·x + y n ·y + z n ·z – (x n ·x A + y n ·y A + z n ·z A ) Bezeichnet man den Wert des letzten Klammerausdrucks mit d , so erhält man: _ À n· __ À AX = 0 É _ À n·X = d É x n ·x + y n ·y + z n ·z = d Die allgemeine Gleichung einer Ebene ist also bloß die Koordinatenschreibweise ihrer „ausmultiplizier- ten“ Normalvektorgleichung. Oder umgekehrt gesagt: Die Normalvektorgleichung ist bloß die vektorielle Schreibweise der allgemeinen Gleichung. Analog zur 5. Klasse (S. 256) führt dies zum Satz Normaøvektorsatz: Die Koeffizienten der øinearen Gøieder der aøøgemeinen Gøeichung einer Ebene sind die Koordinaten eines Normaøvektors der Ebene. 1.11 n A X 1 X 2 Fig. 1.27 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv