Reichel Mathematik 6, Schulbuch

44 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Beispiel T (Fortsetzung) Leite aus der Normaøvektorgøeichung eine aøøgemeine Ebenengøeichung her! Lösung: “ 2 4 ‒16 § · “ x – 3 y – 2 z + 1 § = 0 É 2·(x – 3) + 4·(y – 2) – 16·(z + 1) = 0 É 2 x + 4 y – 16 z = 30 Beispiel S (Fortsetzung) Gib eine Normaøvektorgøeichung der Ebene ε : 2 x + z = 5 an! Lösung: Die Koordinaten eines Normaøvektors kann man gemäß dem Normaøvektorsatz unmitteøbar abøesen: _ À n = (2 1 0 1 1) Um einen festen Punkt A zu finden, wähøt man zwei seiner Koordinaten vor – zB A (0 1 0 1 z). Die fehøen- de Koordinate erhäøt man aus der gegebenen Gøeichung: 2·x + 0·y + 1·z = 5 w 2·0 + 0·0 + 1·z = 5 w z = 5 Insgesamt ergibt sich daher für ε die Normaøvektordarsteøøung: “ 2 0 1 § · “ X – “ 0 0 5 § § = 0 Bemerkung: Wie schon mehrfach erwähnt sind auch in diesen letzten beiden Beispielen die Ergebnisse nicht eindeutig. Ein und dieselbe Ebene kann durch unendlich viele allgemeine Gleichungen, Normal- vektorgleichungen und Parameterdarstellungen beschrieben werden. 3. Parameterdarstellungen in Normalvektorgleichungen umrechnen Beispiel Q (Fortsetzung) Ermittøe eine Normaøvektorgøeichung von ε ! Lösung: Wir könnten zunächst (vgø. Beispieø R auf S. 39) aus der Parameterdarsteøøung durch Eøimina- tion von s und t eine aøøgemeine Gøeichung ermitteøn und aus dieser dann wie in der obigen Fortset- zung von Beispieø S eine Normaøvektorgøeichung. Man kann diesen „Umweg“ aber vermeiden: Einen Normaøvektor _ À n von ε berechnen wir direkt aøs Kreuzprodukt der beiden Steøøungsvektoren von ε , aøs festen Punkt A verwenden wir zB den der Parameterdarsteøøung: _ À n = “ 2 ‒3 ‒1 § × “ 1 2 ‒4 § = “ (‒3)·(‒4) – (‒1)·2 ‒(2·(‒4) – (‒1)·1) 2·2 – (‒3)·1 § = “ 14 7 7 § w ε : “ 14 7 7 § · “ X – “ 2 1 0 § § = 0 bzw. “ 2 1 1 § · “ X – “ 2 1 0 § § = 0 4. Den Abstand eines Punktes von einer Ebene berechnen Liegt ein Punkt P nicht in der Ebene ε , so hat er einen von null verschiedenen Abstand d (P, ε ) , der auf dem Lot von P auf die Ebe- ne ε zwischen P und dem Lotfußpunkt F gemessen wird . Dies könnte man zur Konstruktion – und damit auch zur Berechnung des Abstandes – nützen . Rechnerisch einfacher geht es durch Vergleich der Normalvektor- gleichung mit der VP-Formel: Verwendet man nämlich als Normalvektor der Ebene einen Ein- heitsvektor, normiert man also _ À n zu __ À n 0 , so stellt der Ausdruck __ À n 0 ·(P – A) die orientierte Länge der Projektion des Pfeils __ À AP auf den Vektor _ À n dar. Daher gilt † __ À n 0 ·(P – A) † = d (P, ε ) . Begründe! Satz HESSE’sche Formeø für den Abstand d eines Punktes P von einer Ebene ε : d (P, ε ) = † __ À AP· __ À n 0 † wobei A * ε , _ À n © ε S 36 P d F ε Fig. 1.28 F 1.28 A 151 150501-044 Nur zu Prüfzwecken – Eig ntum des Verlags öbv