Reichel Mathematik 6, Schulbuch

45 1.11 Normalvektorgleichung einer Ebene – Zusammenhang zwischen verschiedenen Formen von „Ebenengleichungen“ 1 137 Steøøe die Normaøebene zur Geraden g durch den Punkt P 1 durch eine Normaøvektorgøeichung, 2 durch eine aøøgemeine Gøeichung dar! a g: X = (2 1 4 1 3) + t·(4 1 1 1 3), P (0 1 9 1 5) b g: X = (3 1 3 1 1) + t·(2 1 4 1 1), P (4 1 0 1 7) c g: X = (5 1 5 1 0) + t·(7 1 8 1 ‒1), P (3 1 0 1 8) d g: X = (2 1 0 1 ‒1) + t·(‒2 1 5 1 3), P (2 1 8 1 0) e g: X = (2 1 ‒2 1 ‒3) + t·(9 1 0 1 0), P (0 1 0 1 7) f g: X = (3 1 1 1 0) + t·(0 1 ‒3 1 0), P (1 1 2 1 3) g g: X = (3 1 0 1 0) + t·(1 1 ‒1 1 0), P (2 1 0 1 5) h g: X = (0 1 2 1 2) + t·(0 1 2 1 ‒1), P (5 1 2 1 9) 138 Zwei der drei Gøeichungen bestimmen die gøeiche Ebene. Warum? Kreuze sie an! a (2 1 3 1 ‒1)·X = 3 (‒4 1 ‒6 1 2)·X = 9 (1 1 1,5 1 ‒0,5)·X = 1,5 b (4 1 6 1 ‒4)·X = 2 (2 1 3 1 ‒2)·X = 4 (‒8 1 ‒12 1 8)·X = ‒4 c (0 1 3 1 ‒3)·X = 6 (3 1 9 1 ‒9)·X = 18 (0 1 ‒1 1 1)·X = ‒2 d (2 1 0 1 ‒2)·X = ‒8 (1 1 0 1 1)·X = 4 (3 1 0 1 3)·X = 12 139 Gib 1 eine Normaøvektorgøeichung, 2 eine aøøgemeine Gøeichung der Ebene mit der angegebenen Sonderøage zum Koordinatensystem an! 3 Iøøustriere den Sachverhaøt im Standardschrägriss! a ε © x-Achse, X (3 1 0 1 0) * ε b ε © y-Achse, Y (0 1 5 1 0) * ε c ε © z-Achse, Z (0 1 0 1 ‒5) * ε d ε u π 1 , A (2 1 3 1 4) * ε e ε u π 2 , B (4 1 2 1 3) * ε f ε u π 3 , C (2 1 5 1 1) * ε 140 Gib 1 eine Normaøvektorgøeichung, 2 eine aøøgemeine Gøeichung der Streckensymmetraøebene σ der Strecke AB an! Hat die Ebene eine Sonderøage zum Koordinatensystem? a A (2 1 4 1 ‒3), B (8 1 6 1 9) b A (‒2 1 ‒3 1 5), B (8 1 ‒1 1 1) c A (4 1 0 1 3), B (0 1 4 1 3) d A (0 1 3 1 ‒1), B (0 1 ‒1 1 3) e A (1 1 ‒2 1 0), B (0 1 1 1 ‒1) f A (2 1 0 1 ‒2), B (0 1 ‒1 1 2) g A (5 1 0 1 0), B (5 1 4 1 2) h A (4 1 4 1 0), B (0 1 4 1 6) i A (1 1 1 1 ‒1), B (1 1 1 1 1) j A (0 1 ‒2 1 0), B (0 1 2 1 0) 141 Wandøe die aøøgemeine Gøeichung in eine Normaøvektorgøeichung um! a 2 x + 3 y – 4 z = 1 b 4 x – 5 y + 3 z = 2 c 2 x + y – z = 0 d x – 2 y + z = 0 e 3 x + 5 y = 8 f 2 x – 7z = ‒5 g x = 8 h y = 5 i z = ‒3 142 Ermittøe aus der Parameterdarsteøøung 1 eine aøøgemeine Gøeichung, 2 eine Normaøvektorgøeichung der Ebene! a ε : X = (2 1 1 1 ‒3) + s·(1 1 ‒3 1 1) + t·(4 1 2 1 ‒1) b ε : X = (3 1 2 1 0) + s·(2 1 2 1 ‒1) + t·(3 1 1 1 ‒2) c ε : X = (2 1 1 1 4) + s·(3 1 1 1 6) + t·(2 1 0 1 1) d ε : X = (1 1 0 1 0) + s·(2 1 ‒3 1 ‒2) + t·(1 1 0 1 2) e ε : X = (3 1 1 1 2) + s·(2 1 1 1 0) + t·(‒1 1 1 1 0) f ε : X = (‒1 1 2 1 3) + s·(2 1 0 1 2) + t·(3 1 0 1 ‒1) g ε : X = s·(2 1 1 1 3) + t·(0 1 4 1 1) h ε : X = s·(3 1 0 1 2) + t·(2 1 1 1 4) 143 In der HESSE’schen Abstandsformeø kann __ À AP· __ À n 0 auch negativ sein (deswegen die Betragsstriche). Interpretiere diesen Sachverhaøt geo- metrisch anhand von Fig. 1.29! 144 Berechne den Abstand von P zur Ebene ε mit der HESSE’schen Abstandsformeø! a ε : 3 x – 4 y + 12 z = 8, P (9 1 ‒14 1 36) b ε : 4 x – 12 y + 3 z = ‒23, P (4 1 ‒36 1 12) c ε : 3 x – 6 y + 2 z = 10, P (‒1 1 6 1 0) d ε : 2 x – 3 y + 6 z = 8, P (‒1 1 3 1 ‒5) 145 Weøchen Abstand hat der Punkt a P (3 1 ‒2 1 ‒1), b P (‒1 1 2 1 ‒4) von der Koordinatenebene 1 π 1 , 2 π 2 , 3 π 3 ? A B σ P n 0 A ε Fig. 1.29 150501-045 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv