Reichel Mathematik 6, Schulbuch

46 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene 1. Lagebeziehungen untersuchen g schneidet ε g liegt parallel zu ε g liegt in ε g ° ε = {S} g ° ε = { } g ° ε = g Falls g und ε einen Punkt S gemeinsam haben, so erfüllen dessen Koordinaten x S , y S und z S sowohl die Parameterdarstellung der Geraden g (festgelegt durch den festen Punkt A und den Richtungsvektor _ À a) x S = x A + t·x a y S = y A + t·y a z S = z A + t·z a als auch die Gleichung der Ebene ε : a·x S + b·y S + c·z S = d Insgesamt erhält man daher: a·(x A + t·x a ) + b·(y A + t·y a ) + c·(z A + t·z a ) = d Letzteres ist eine lineare Gleichung für jenen Parameterwert t , durch den der gesuchte gemeinsame Punkt S auf der Geraden g festgelegt ist. Besitzt diese Gleichung – genau eine Lösung, so existiert genau ein gemeinsamer Punkt . Die Koordinaten dieses Schnittpunk- tes (Durchstoßpunktes) S von g und ε erhält man, indem man den ermittelten Parameterwert t in die Parameterdarstellung von g einsetzt. – keine Lösung, so ist g zu ε parallel . – unendlich viele Lösungen, so liegt g in ε , dh.: g ² ε Bemerkung: In Fig. 1.30 ist zur Erhöhung der Anschaulichkeit der „Schatten“ g ε der Geraden g auf ε bei Projektion parallel zu _ À n sowie einige Projektionsstrahlen (die in einer von g und _ À n „aufgespannten“ Ebene liegen) eingezeichnet. Beispiel U Berechne die Koordinaten eines etwaigen Schnittpunktes der Ebene ε : 2 x + 2 y – z = 8 mit 1 der Trägergeraden g der Strecke AB, A (2 1 3 1 ‒2), B (4 1 0 1 ‒8), 2 der Strecke AB seøbst! Lösung: g: X = (2 1 3 1 ‒2) + t·(2 1 ‒3 1 ‒6) 2·(2 + 2 t) + 2·(3 – 3 t) – (‒2 – 6 t) = 8 4 + 4 t + 6 – 6 t + 2 + 6 t = 8 12 + 4 t = 8 t = ‒1 1 ε schneidet g im Punkt S = “ 2 3 ‒2 § + (‒1)· “ 2 ‒3 ‒6 § w S (0 1 6 1 4) 2 Weiø t nicht im Intervaøø [0; 1] øiegt, schneidet die Ebene ε die Strecke AB nicht. 1.12 g n g S φ ε ε Fig. 1.30a g n S g ε ε d Fig. 1.30b g n S = g ε ε Fig. 1.30c F 1.30a F 1.30b F 1.30c Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv