Reichel Mathematik 6, Schulbuch

47 1.12 Lagebeziehungen zwischen einer Geraden und einer Ebene 1 2. Maßaufgaben lösen – Winkel und Abstände berechnen Der Winkel zwischen einer Geraden g und einer Ebene ε tritt als Winkel zwischen g und der Normal- projektion g ε von g auf ε auf , wird aber besser über den Winkel zwischen einem Richtungsvektor _ À g von g und einem Normalvektor _ À n von ε definiert. Erøäutere ! Den Abstand d einer Geraden g von einer Ebene ε definiert man als den minimalen Abstand, den zwei Punkte G * g und E * ε voneinander haben können. Erøäutere ! Definition ¼ (g, ε ) = 90° – ¼ ( _ À g, _ À n) d (g, ε ) = min d (G, E) mit G * g, E * ε Bemerkung: Gemäß dieser Definition „existiert“ insbesondere auch für eine die Ebene schneidende Gerade ein „Abstand“, der allerdings null ist. Beispiel U (Fortsetzung) Berechne ¼ (g, ε )! Lösung: Gemäß der VW-Formeø giøt: cos ¼ (g, _ À n) = “ 2 ‒3 ‒6 § · “ 2 2 ‒1 § ______ 9 _ 49· 9 __ 9 = 4 – 6 + 6 _____ 21 w ¼ (g, _ À n) = 79,02° ¼ (g, g ε ) = ¼ (g, ε ) = 90° – ¼ (g, _ À n) = 90° – 79,02° = 10,98° Für Geraden parallel zu (und insbesondere in) ε – und nur solche – „existiert“ gemäß Fig. 1.30b ein „Abstand“ zu ε . Dieser kann in der Form d (g, ε ) = d (P, ε ) ermittelt werden, wobei P irgendein Punkt auf g ist. Dabei kann man entweder die dortige Formel verwenden oder den zeichnerisch-konstruktiven Weg über den Lotfußpunkt F rech- nerisch nachvollziehen. Beide Wege zeigt Beispiel V Die Gerade g: X = (‒5 1 5 1 3) + t·(0 1 1 1 ‒1) ist zur Ebene ε : 7x – 4 y – 4 z = 14 paraøøeø. Prüfe dies nach und ermittøe den Abstand d (g, ε ) auf beide Arten! Lösung: Der gegebene Richtungsvektor (0 1 1 1 ‒1) von g ist zum Normaøvektor _ À n = (7 1 ‒4 1 ‒4) von ε nor- maø, weiø ihr skaøares Produkt 0·7 + 1·(‒4) + (‒1)·(‒4) den Wert 0 hat; damit ist g u ε oder g ² ε . 1) Man wendet die HESSE’sche Abstandsformeø an, wobei man zB A (2 1 0 1 0) * ε und P (‒5 1 5 1 3) * g wähøt: d (g, ε ) = d (P, ε ) = † __ À AP· __ À n 0 † = † “ “ ‒5 5 3 § – “ 2 0 0 § § · “ 7 ‒4 ‒4 § 0 † = † “ ‒7 5 3 § · “ 7 ‒4 ‒4 § † __________ 9 ____________ 7 2 + (‒4) 2 + (‒4) 2 = † ‒49 – 20 – 12 † _________ 9 81 = 9 2) Oder man berechnet den Fußpunkt F des Lotes ø von P auf ε und sodann d (g, ε ) = d (P, F). Aus P (‒5 1 5 1 3) * g und ø u _ À n = (7 1 ‒4 1 ‒4) erhäøt man: ø ° ε = {F} : 7·(‒5 + 7 t) – 4·(5 – 4 t) – 4·(3 – 4 t) = 14 w t = 1 w F = (‒5 1 5 1 3) + 1·(7 1 ‒4 1 ‒4) w F (2 1 1 1 ‒1) d (P, ε ) = d (P, F) = 9 ____________ 7 2 + (‒4) 2 + (‒4) 2 = 9 Bemerkung: Wenn hier immer wieder (wie üblich) vom „Lot“ gesprochen wird, so meint man eigentlich eine Normale . Denn das Lot zeigt ja eigentlich zum „Erdmittelpunkt“. Erøäutere! 146 a Erøäutere, wie man mit Hiøfe des Orthogonaøitätskriteriums feststeøøen kann, ob eine Gerade eine Ebene in einem Punkt schneidet, oder ob einer der Sonderfäøøe vorøiegt! b Erøäutere, wie man mit Hiøfe des Orthogonaøitätskriteriums eine Parameterdarsteøøung einer Geraden finden kann, die durch einen Punkt P geht und zu einer Ebene ε paraøøeø ist, von der man eine Normaø- vektorgøeichung kennt! F 1.30a A 160 A 160 Fig. 1.31 P g d F ε S 44 F 1.31 S 44 Nur zu Prüfzwe ken – Eigentum des Verlags öbv