Reichel Mathematik 6, Schulbuch

48 Räumliche Koordinatengeometrie 1 147 Der Normaøvektorsatz hiøft zwei Grundaufgaben zu øösen, nämøich 1 die Normaøe ø auf eine Ebene ε durch einen Punkt P, 2 die Normaøebene ν durch einen Punkt P auf eine Gerade g zu øegen und durch ei- ne Gøeichung zu beschreiben. Erøäutere in einem kurzen Aufsatz mit Skizzen! 148 Die Gerade g hat zur Ebene ε eine Sonderøage. Weøche? a g: X = (1 1 ‒3 1 2) + t·(2 1 2 1 1), ε : x – y = 4 b g: X = (2 1 0 1 7) + t·(3 1 2 1 ‒2), ε : y + z = 9 c g: X = t·(0 1 2 1 3), ε : 13 x + 3 y – 2 z = 2 d g: X = t·(1 1 0 1 3), ε : 3 x + 17 y – z = 0 149 1 Gib eine Parameterdarsteøøung der Geraden an, die durch den Punkt P geht und zur Ebene ε normaø steht! 2 Berechne den Abstand d (P, ε )! a P (3 1 4 1 ‒1), ε : 3 x – y + z = ‒7 b P (2 1 8 1 0), ε : 4 x + y – z = ‒2 c P (5 1 2 1 ‒3), ε : x – 3 z = ‒6 d P (4 1 8 1 3), ε : y – 5 z = 45 e P (3 1 0 1 0), ε : x = 6 f P (0 1 0 1 7), ε : z = ‒3 g P (0 1 0 1 0), ε : 2 x – y + z/2 = 6 h P (0 1 0 1 0), ε : x + y – z/2 = 6 150 Löse Aufg. 144 wie in Beispieø V 2 (S. 47) über die Berechnung des Lotfußpunktes! 151 1 Gib eine Parameterdarsteøøung jener Geraden an, weøche durch den Punkt P geht und zu der von den Geraden g und h aufgespannten Ebene ε normaø steht! 2 Ermittøe die Koordinaten des Lotfußpunktes F! 3 Ermittøe mit Hiøfe von F den Abstand d (P, ε ) und überprüfe mitteøs der HESSE’schen Abstandsformeø! a g: X = (1 1 0 1 0) + s·(3 1 2 1 7), h: X = (1 1 0 1 0) + t·(‒2 1 1 1 0), P (4 1 9 1 9) b g: X = (3 1 2 1 0) + s·(‒1 1 2 1 1), h: X = (3 1 2 1 0) + t·(0 1 2 1 ‒2), P (3 1 ‒2 1 3) c g: X = s·(12 1 ‒4 1 6), h: X = t·(30 1 15 1 5), P (‒1 1 0 1 2) d g: X = s·(18 1 ‒9 1 15), h: X = t·(12 1 18 1 24), P (4 1 ‒2 1 ‒1) 152 Wie Aufg. 151 für die paraøøeøen Geraden g und h. a g: X = s·(3 1 2 1 2), h: X = (1 1 5 1 2) + t·(3 1 2 1 2), P(0 1 4 1 ‒1) b g: X = s·(1 1 2 1 3), h: X = (3 1 7 1 0) + t·(1 1 2 1 3), P(8 1 7 1 1) c g: X = (2 1 1 1 4) + s·(1 1 0 1 0), h: X = (3 1 0 1 7) + t·(‒3 1 0 1 0), P(3 1 8 1 0) d g: X = (1 1 2 1 3) + s·(0 1 0 1 2), h: X = (4 1 0 1 1) + t·(0 1 0 1 ‒1), P(4 1 4 1 1) 153 Wo und unter weøchem Winkeø schneidet die Gerade g die Ebene ε ? a g: X = (1 1 3 1 ‒1) + t·(8 1 4 1 1), ε : x + 6 y – 18 z = 65 b g: X = (2 1 0 1 ‒5) + t·(6 1 2 1 3), ε : 3 x + 12 y – 4 z = ‒4 c g: X = t·(14 1 2 1 ‒5), ε : 6 x – 7y + 6 z = 40 d g: X = t·(6 1 6 1 ‒7), ε : 2 x – 15 y – 5 z = 43 154 Wo und unter weøchem Winkeø schneidet die Ebene ε : 7x – 4 y + 4 z = 28 a die x-Achse, b die y-Achse, c die z-Achse? 155 Wie Aufg. 154 für ε : 3 x – 4 y + 12 z = 24. 156 Wo und unter weøchem Winkeø schneidet die Gerade g: X = (6 1 3 1 ‒4) + t·(2 1 1 1 ‒2) a die Koordinatenebene π 1 , b die Koordinatenebene π 2 , c die Koordinatenebene π 3 ? 157 Wie Aufg. 156 für g: X = (3 1 8 1 12) + t·(3 1 ‒2 1 6). 158 Überprüfe die Lage der Geraden g zur Ebene ε und ermittøe gegebenenfaøøs den Abstand der Geraden g von der Ebene ε ! a g: X = (‒1 1 3 1 5) + t·(2 1 ‒3 1 6), ε : X = (1 1 2 1 5) + u·(‒2 1 3 1 ‒6) + v·(1 1 0 1 2) b g: X = (10 1 3 1 2) + t·(1 1 0 1 ‒2), ε : X = (3 1 0 1 1) + u·(2 1 1 1 1) + v·(5 1 2 1 0) 159 Zeige, dass die Gerade g zur Ebene ε paraøøeø ist (bzw. in dieser øiegt), und ermittøe den Abstand d (g, ε )! a ε : 12 x – y + 12 z = 24, g: X = (8 1 ‒1 1 18) + t·(1 1 0 1 ‒1) b ε : 4 x – 7y + 4 z = 8, g: X = (4 1 ‒7 1 6) + t·(‒1 1 0 1 1) 160 Begründe (an einer Skizze): a Der Winkeø zwischen einer Geraden g und einer Ebene ε ist der minimaøe Winkeø, den g mit einer Geraden h ² ε einzuschøießen vermag. b Der Abstand einer Geraden g von einer Ebene ε ist der minimaøe Abstand, den ein Punkt auf g von einem Punkt auf ε haben kann. S 43 150501-048 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv