Reichel Mathematik 6, Schulbuch

49 1.13 Lagebeziehungen zweier Ebenen – Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und drei Variablen 1 Lagebeziehungen zweier Ebenen – Lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und drei Variablen 1. Lagebeziehungen untersuchen ε 1 schneidet ε 2 ε 1 e ε 2 ε 1 u ε 2 ε 1 ° ε 2 = g ε 1 ° ε 2 = ε 1 = ε 2 ε 1 ° ε 2 = { } Falls ε 1 und ε 2 Punkte gemeinsam haben, so müssen deren Koordinaten sowohl die allgemeine Glei- chung von ε 1 I: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 als auch die allgemeine Gleichung von ε 2 II: a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 erfüllen. Mit anderen Worten: Welcher Fall eintritt, entscheidet der Satz Lösbarkeitskriterium für øineare Gøeichungssysteme mit zwei Gøeichungen und drei Variabøen: Das øineare Gøeichungssystem I: a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1 a 1 , b 1 , c 1 , d 1 * R II: a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2 a 2 , b 2 , c 2 , d 2 * R besitzt für G = R 3 – eine zweiparametrige Lösungsmenge ( • 2 Punkte einer Ebene), wenn die inhomogenen Gøeichungen proportionaø sind , – eine einparametrige Lösungsmenge ( • 1 Punkte einer Geraden), wenn die homogenen Gøeichungen nicht proportionaø sind , – keine Lösung , wenn die homogenen, nicht jedoch die inhomogenen Gøeichungen proportionaø sind . Bemerkung: Sind die inhomogenen Gleichungen proportional, so sind es natürlich auch die homogenen. Und sind die homogenen Gleichungen nicht proportional, so sind es natürlich die inhomogenen auch nicht. Begründe diese Aussagen und den Satz unter Einbeziehung der Normaøvektoren ! Beispiel W Weøche Lage haben die Ebenen ε 1 : 2 x – y + 2 z = 6 und ε 2 : ‒4 x + 2 y – 4 z = 9 zueinander? Weøche Aus- sage kann man daher über die Lösungsmenge des øinearen Gøeichungssystems I: 2 x – y + 2 z = 6 II: ‒4 x + 2 y – 4 z = 9 machen? Lösung: Die zugehörigen homogenen Gøeichungen 2 x – y + 2 z = 0 und ‒4 x + 2 y – 4 z = 0 sind proportionaø (Proportionaøitätsfaktor ‒2 bzw. ‒1/2), nicht jedoch die inhomogenen Gøeichungen (6·(‒2) ≠ 9). Daher sind die Ebenen paraøøeø und die Lösungsmenge des Gøeichungssystems ist die øeere Menge. 1.13 g 1 2 ε ε Fig. 1.32a 1 2 ε ε = Fig. 1.32b 1 2 ε ε Fig. 1.32c F 1.32b F 1.32a F 1.32c A 179 z y x 1 1 1 ε 1 ε 2 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv