Reichel Mathematik 6, Schulbuch

50 Räumliche Koordinatengeometrie 1 2. Maßaufgaben lösen – Winkel und Abstände berechnen Der Winkel zwischen zwei Ebenen ε 1 und ε 2 definiert man als jenen Winkel, den die Normalvektoren __ À n 1 und __ À n 2 einschließen: ¼ ( ε 1 , ε 2 ) = ¼ ( __ À n 1 , __ À n 2 ) . Erøäutere anhand von Fig. 1.32a! Begründe, dass es egaø ist, weøchen Normaøvektor von ε 1 und weøchen von ε 2 man konkret verwendet, und dass ε 1 und ε 2 genau genommen zwei Winkeø einschøießen, die einander auf 180° ergänzen, aøso suppøementär sind! Den Abstand d zweier Ebenen ε 1 und ε 2 definiert man als den minimalen Abstand, den zwei Punkte E 1 * ε 1 und E 2 * ε 2 haben können. Erøäutere! Definition ¼ ( ε 1 , ε 2 ) = ¼ (n 1 , n 2 ) d ( ε 1 , ε 2 ) = min d (E 1 , E 2 ) mit E 1 * ε 1 , E 2 * ε 2 Bemerkung: Gemäß dieser Definition „existiert“ insbesondere auch für zwei schneidende Ebenen ein „Abstand“, der allerdings null ist. Erøäutere! Im Fall paralleler Ebenen „existiert“ ein „Abstand“ (der im Fall iden- tischer Ebenen null ist), dessen Berechnung wir gemäß Fig. 1.33 auf die Berechnung des Abstandes eines beliebigen Punktes E 1 * ε 1 von ε 2 bzw. E 2 * ε 2 von ε 1 zurückführen: d ( ε 1 , ε 2 ) = d (E 1 , ε 2 ) = d ( ε 1 , E 2 ) Beispiel W (Fortsetzung) Ermittøe den Abstand d ( ε 1 , ε 2 )! Lösung: Wir rechnen mit der HESSE’schen Abstandsformeø und wähøen dazu zB P (0 1 ‒6 1 0) * ε 1 und A (0 1 4,5 1 0) * ε 2 : d ( ε 1 , ε 2 ) = d (P, ε 2 ) = † __ À AP·( __ À n 2 ) 0 † = † “ 0 ‒10,5 0 § · “ ‒4 2 ‒4 § · 1 __________ 9 ____________ (‒4) 2 + 2 2 + (‒4) 2 † = 21 __ 6 = 3,5 3. Eine Parameterdarstellung der Schnittgeraden zweier Ebenen berechnen Besitzt ein lineares Gleichungssystem eine einparametrige Lösungsmenge, so kann man diese geomet- risch als Schnittgerade jener beiden Ebenen interpretieren, die durch die beiden linearen Gleichungen beschrieben werden. Daraus folgt umgekehrt der Satz Eine Gerade im dreidimensionaøen Raum kann man (auf unendøich vieøe Arten) durch ein System mit zwei øinearen Gøeichungen und drei Variabøen festøegen. Beispiel X Lege die Schnittgerade der Ebenen ε 1 : 2 x – y + 2 z = 6 und ε 2 : ‒4 x + 7y – 4 z = 1 durch eine Para- meterdarsteøøung fest! Lösung: Wir wähøen eine der Koordinaten aøs Parameter, zB z = t, und berechnen aus dem entstehen- den øinearen Gøeichungssystem I: 2 x – y = 6 – 2 t II: ‒4 x + 7y = 1 + 4 t die Koordinaten x und y in Abhängigkeit von t, wobei t – wie bei y – „herausfaøøen“ kann, was auf eine besondere Lage der Schnittgeraden zum Koordinatensystem hinweist: 7·I + II: 10 x = 43 – 10 t | 2·I + II: 5 y = 13 x = 4,3 – t y = 2,6 Durch geschicktes Untereinanderschreiben der Ausdrücke für x, y und z erhäøt man die Parameterdarsteøøung: X = “ 4,3 – t 2,6 t § = “ 4,3 2,6 0 § + t· “ ‒1 0 1 § Fig. 1.33 E 2 E 1 1 2 ε ε S 44 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv