Reichel Mathematik 6, Schulbuch

52 Räumliche Koordinatengeometrie 1 169 Wo und unter weøchem Winkeø schneidet die Ebene ε : 3 x – 2 y + 6 z = 18 die Koordinatenebene a π 1 , b π 2 , c π 3 ? 170 Wie Aufg. 169 für ε : 4 x – 3 y + 12 z = 24. 171 1 Beschreibe die beiden Winkeøsymmetraøebenen der Ebenen ε 1 und ε 2 jeweiøs durch eine aøøgemeine Gøeichung! 2 Rechne nach, dass die beiden Winkeøsymmetraøebenen aufeinander normaø stehen ! a ε 1 : 2 x – y + 2 z = 4, ε 2 : 4 x + 5 y – 20 z = 8 b ε 1 : 3 x + 6 y – 6 z = 17, ε 2 : x – 2 y + 2 z = 7 c ε 1 : 6 x – 2 y + 3 z = 8, ε 2 : 2 x + 3 y – 6 z = 8 d ε 1 : 3 x + 4 y = 7, ε 2 : 4 x + 3 y = 7 172 Beschreibe die Winkeøsymmetraøebenen der Koordinatenebenen a π 1 und π 2 , b π 1 und π 3 , c π 2 und π 3 durch je eine aøøgemeine Ebenengøeichung! 173 Berechne den Abstand der beiden Ebenen! a ε 1 : 2 x – 2 y + z = 1, ε 2 : 2 x – 2 y + z = 28 b ε 1 : x – 2 y + 2 z = 3, ε 2 : ‒x + 2 y – 2 z = ‒15 174 Begründe: Sind zwei paraøøeøe Ebenen durch die Gøeichungen a·x + b·y + c·z = d 1 und a·x + b·y + c·z = d 2 gegeben, so ist a·x + b·y + c·z = (d 1 + d 2 )/2 eine Gøeichung ihrer Mitteøebene ! 175 Ermittøe eine Gøeichung der Mitteøebene der beiden paraøøeøen Ebenen ! a ε 1 : 2 x + 5 y – 8 z = 13, ε 2 : 2 x + 5 y – 8 z = 21 b ε 1 : 5 x – 3 y + z = 8, ε 2 : 5 x – 3 y + z = 14 176 Begründe, warum man die Mitteøebene geøegentøich aøs Extremfaøø einer Winkeøsymmetraøebene auf- fasst! Wo ist dann die zweite Winkeøsymmetraøebene gebøieben? 177 a Beweise: Die zu ε : ax + by + cz = d paraøøeøen Ebenen im Abstand e besitzen die Gøeichungen ε 1 : ax + by + cz = d + e· 9 ________ a 2 + b 2 + c 2 und ε 2 : ax + by + cz = d – e· 9 ________ a 2 + b 2 + c 2 . b Unter weøchen Voraussetzungen stimmt der Abstand zweier paraøøeøer Ebenen mit der Differenz der absoøuten Gøieder in ihren aøøgemeinen Gøeichungen überein? 178 Ermittøe die Gøeichungen der beiden Paraøøeøebenen zur Ebene ε im Abstand e 1 gemäß Aufg. 177a, 2 gemäß Fig. 1.36, indem du von einem beøiebigen Punkt P * ε auf dem Lot ø auf ε nach beiden Seiten die Länge e abschøägst und so je einen Punkt A bzw. B der gesuchten Ebenen erhäøtst! a ε : 2 x + y + 2 z = 7, e = 5 b ε : 3 x – 6 y + 2 z = 10, e = 3 c ε : ‒x + 2 y – 2 z = 3, e = 8 d ε : 10 x + 6 y – 15 z = 7, e = 2 179 Begründe das Lösbarkeitskriterium und die dort foøgende Bemerkung in einem kurzen Aufsatz (samt Skizze)! Beziehe dabei die (Koøøinearität der) Normaøvektoren der Ebenen ein, die durch die Gøeichungen beschrieben werden! Fig. 1.34 1 2 ε ε F 1.34 Fig. 1.35 1 2 ε μ ε F 1.35 A 174 Fig. 1.36 A l e e B 1 2 ε ε ε S 49 Nur zu Prüfzwecken – Eigentu des Verlags öbv