Reichel Mathematik 6, Schulbuch

54 Räumliche Koordinatengeometrie 1 2. Gleichungssysteme lösen, die proportionale Gleichungen besitzen Jene Fälle, in denen (mindestens) zwei Ebenen identisch oder zueinander parallel sind, lassen sich auf- grund des Lösbarkeitskriteriums für lineare Gleichungssysteme mit zwei Gleichungen und drei Variab- len sofort erkennen. Sind die homogenen Gleichungen proportional, nicht aber die inhomogenen, so sind die Ebenen parallel, aber nicht identisch. Sind die inhomogenen Gleichungen (und damit auch au- tomatisch die homogenen Gleichungen) proportional, so sind die Ebenen identisch. Da man die Propor- tionalität meist ohne großen Rechenaufwand erkennt, lassen sich solche Gleichungssysteme unmittel- bar lösen: Beispiel Y Ermittøe für G = R 3 die Lösungsmenge des Gøeichungssystems! I: 2 x + 4 y – z = 8 II: 6 x + 12 y – 3 z = 24 III: ‒2 x – 4 y + z = 13 Lösung: Da die inhomogenen Gøeichungen von I und II proportionaø sind, sind die zugehörigen Ebe- nen ε 1 und ε 2 identisch. Da die zu I und III gehörigen homogenen Gøeichungen proportionaø sind, nicht jedoch die inhomogenen Gøeichungen, sind die zugehörigen Ebenen ε 1 und ε 3 zueinander pa- raøøeø . Die Gesamtøösungsmenge ist daher die øeere Menge. Beispiel Y (Fortsetzung) Ersetze die Gøeichung III durch ‒2 x – 4 y + z = ‒8 und øöse das so entstehende Gøeichungssystem! Lösung: Da nunmehr auch III zu I proportionaø ist, sind aøøe drei Ebenen identisch. Die Lösungsmenge besteht daher, geometrisch gesprochen, aus den Punkten dieser „dreifachen“ Ebene . L = {(x 1 y 1 z) * R 3 ‡ 2 x + 4 y – z = 8} Um anzudeuten, dass man beim Aufsuchen einzeøner Eøemente der Lösungsmenge zwei Koordinaten frei wähøen darf, verwendet man zB auch die Schreibweise L = {(x 1 y 1 z) * R 3 ‡ z = ‒8 + 2 x + 4 y} oder auch die Parameterdarsteøøung L = {(x 1 y 1 z) ‡ (x = s) ? (y = t) ? (z = ‒8 + 2 s + 4 t), s, t * R } Beispiel Y (Fortsetzung) Ersetze die Gøeichung III durch 2 x + z = 0 und øöse das entstehende Gøeichungssystem! Lösung: Nun øiegt der Lösungsfaøø in Fig. 1.37b vor. Die einparametrige Lösungsmenge kann durch die Parameterdarsteøøung der Schnittgeraden von ε 1 und ε 3 beschrieben werden. Wir setzen zB x = t und erhaøten: 2 x + 4 y – z = 8 2 x + z = 0 w z = ‒2 t w 4 y = 8 – 2 t + (‒2 t) w y = 2 – t Man erhäøt so L = {(x 1 y 1 z) ! (x = t) ? (y = 2 – t) ? (z = ‒2 t), t * R } oder durch geschicktes Untereinanderschreiben der Ausdrücke für x, y und z L = {(x 1 y 1 z) ! X = “ 0 2 0 § + t· “ 1 ‒1 ‒2 § , t * R } 3. Gleichungssysteme lösen, deren homogene Gleichungen nicht proportional sind Sind unter den durch die Gleichungen festgelegten Ebenen keine identisch oder parallel, so kann man im Allgemeinen nicht „auf einen Blick“ erkennen, welcher Lösungsfall vorliegt. In den meisten Fällen liegt der Hauptfall – daher der Name – vor: Die drei Ebenen schneiden einander in einem einzigen Punkt. Man wird daher versuchen, dessen Koordinaten zu errechnen. Ist der Versuch erfolgreich, so liegt tat- sächlich der Hauptfall vor . Ist das Gleichungssystem einparametrig lösbar, so liegt der in Fig. 1.37 c dargestellte Fall vor. Ist das Gleichungssystem unlösbar, so liegt der in Fig. 1.37 g skizzierte Fall vor. S 49 F 1.37e F 1.37a F 1.37d Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv