Reichel Mathematik 6, Schulbuch

56 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Untersuchen von Lösungsfällen 180 Beweise: Ein øineares (3,3)-Gøeichungssystem besitzt eine einparametrige Lösungsmenge, wenn die Gøei- chung III eine Linearkombination der Gøeichungen I und II ist, dh.: III = α ·I + β ·II, wobei ( α1β ) ≠ (0 1 0) ist. Weøche Voraussetzungen müssen dabei die Gøeichungen I und II erfüøøen? 181 Beweise: Ein øineares (3,3)-Gøeichungssystem besitzt eine øeere Lösungsmenge, wenn für die zugehöri- gen homogenen Gøeichungen I’, II’ und III’ giøt: III’ = α ·I’ + β ·II’, nicht jedoch III = α ·I + β ·II, wobei ( α1β ) ≠ (0 1 0) ist. Weøche Voraussetzungen müssen dabei die Gøeichungen I und II erfüøøen? 182 Erfinde (unter Verwendung der Aufg. 180 und 181) zu jedem in Fig. 1.37 skizzierten Lösungsfaøø ein Beispieø! 183 Vervoøøständige die Gøeichung III so, dass die Lösungsmenge 1 zweiparametrig, 2 die øeere Menge ist! a 2 x + 3 y + 4 z = 3 b x – y + 2 z = 4 c 2 x – 4 y + 6 z = 7 4 x + 6 y + 8 z = 6 ‒x + y – 2 z = ‒4 x – 2 y + 3 z = 3,5 6 x = – 2 y = – 12 z = 184 Ergänze eine Gøeichung III so, dass die Lösungsmenge einparametrig ist! a 2 x – 3 y + z = 4 b ‒x + 2 y – 3 z = 4 c 2 x – y + z = 7 3 x – y – z = 1 ‒x – 2 y + z = 1 3 x – y + 4 z = 0 = = = Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit einelementigen Lösungsmengen 185 Die drei Ebenen besitzen genau einen Schnittpunkt. Ermittøe dessen Koordinaten! a x – 3 y + z = 7 b 3 y – z = 7 c 2 x – y = 8 2 x – z = 11 2 x – 3 y + 2 z = ‒21 4 y + 3 z = ‒11 4 y – 3 z = 1 3 x + y = ‒21 4 x + 9 z = 3 186 Das Gøeichungssystem besitzt im R 3 eine eindeutige Lösung. Berechne und kontroøøiere sie! a 4 x – 3 y + 2 z = ‒10 b 3 x – 5 y + 2 z = ‒30 c x – z = 6 2 x + 9 y – 4 z = 12 ‒9 x + 3 y – 8 z = 10 x – 3 y = 5 ‒6 x – 15 y + 8 z = ‒8 6 x – y + 4 z = 3 y + 2 z = 5 187 Wie Aufg. 186. a (2 x + y)(2 x + 3 z) = 52 b (x – 3 z)(3 y – x) = 21 c ‒ x _ 2 + 2y __ 3 + z = 3 x + 2y __ 3 + z _ 2 = ‒7 ‒ x _ 2 – 2y __ 3 + z = 2 z – x + 2y ____ 3 = 6 ‒y – x – 3z ____ 3 = 7 z – x + 2y ____ 3 = 16 __ 3 y + 3z ____ x + 2z = ‒ 3 _ 2 d x _ 2 – 2y __ 3 – z = 7 e x _ 3 – y _ 4 – z = 8 f 2x __ 3 + y – z _ 2 = 2 z – x + 2y ____ 3 = ‒2 2 x – 5 y – 3 z = 2 2 x + y – z = 0 2z – x ____ y + 2z = 10 __ 7 5x – 7y _____ y + z = 2 6x + 3z _____ 3y – 16 = 1 Inhomogene lineare Gleichungssysteme mit nicht-einelementigen Lösungsmengen 188 Löse für G = R 3 ! Gib unter Bezugnahme auf Fig. 1.37 an, weøcher Lösungsfaøø vorøiegt! a 2 x – 3 y + 9z __ 2 = 1 b 4 x + 8 y – 6 z = 6 c 3x – y _ 3 + z _ 6 = 2 ‒ 4x __ 3 + 2 y – 3 z = ‒ 2 _ 3 ‒x – 2 y + 3z __ 2 = ‒ 3 _ 2 ‒9 x + y – 0,5 z = ‒6 2x __ 3 – y + 3z __ 2 = 1 _ 3 ‒ 2x __ 3 – 4y __ 3 + z = ‒1 18 x – 2 y + z = 12 150501-056 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv