Reichel Mathematik 6, Schulbuch

61 1.15 Rückblick und Ausblick 1 199 Erøäutere, weøche Art von Muøtipøikation die einzeønen „Maøpunkte“ in der Formeø 1) ausdrücken! Verifiziere anschøießend diese Formeø mit den gegebenen Vektoren! a _ À a = (1 1 2 1 0), _ À b = (0 1 1 1 1), _ À c = (2 1 0 1 1), _ À d = (1 1 1 1 1) b _ À a = (2 1 0 1 1), _ À b = (1 1 2 1 2), _ À c = (2 1 1 1 0), _ À d = (0 1 0 1 2) 200 Erøäutere, weøche Art von Muøtipøikation die einzeønen „Maøpunkte“ in der Formeø 2) ausdrücken! Verifiziere anschøießend diese Formeø mit den gegebenen Vektoren! a _ À a = (1 1 1 1 1), _ À b = (2 1 1 1 1), _ À c = (1 1 3 1 0) b _ À a = (0 1 0 1 4), _ À b = (2 1 0 1 1), _ À c = (2 1 2 1 0) 201 Weise nach, dass das Viereck ein Trapez ist und berechne seine Höhe! a A (3 1 2 1 1), B (9 1 8 1 4), C (6 1 3 1 2), D (2 1 ‒1 1 0) b A (2 1 1 1 5), B (10 1 5 1 9), C (4 1 1 1 7), D (0 1 ‒1 1 5) 202 Die „Diagonaøen“ e = AC und f = BD des „Vierecks“ A (4 1 0 1 0), B (0 1 4 1 0), C (4 1 4 1 4), D (0 1 0 1 4) sind gøeich øang und zueinander orthogonaø. Rechne dies nach! Trotzdem ist das „Viereck“ weder ein Deøtoid noch ein Quadrat! Begründe anhand einer Schrägrissskizze! 203 Berechne den Neigungswinkeø der Kanten des Paraøøeøepipeds ABCDEFGH gegen die „Basisebene“ ABCD! a A (3 1 2 1 1), B (8 1 ‒10 1 1), D (0 1 ‒2 1 1), E (5 1 4 1 7) b A (2 1 4 1 0), B (3 1 7 1 0), D (8 1 0 1 1), E (0 1 0 1 8) 204 Von einem Tetraeder ABCD kennt man A (2 1 ‒3 1 ‒1), B (1 1 3 1 1), C (‒2 1 ‒3 1 4), D (3 1 4 1 5) . Berechne den Winkeø zwischen der angegebenen Seitenkante und der angegebenen Seitenføäche (bzw. Grundføäche)! a AD, ABC b BD, ABC c CD, ABC d AB, ACD e CB, ACD f DB, ACD 205 Die Geraden a, b und c tragen die Seitenkanten DA, DB und DC eines Tetraeders ABCD, dessen Grundføäche in der Ebene ε øiegt . Berechne die Koordinaten aøøer Eckpunkte! a a: X = (3 1 5 1 0) + t·(2 1 3 1 0), b: X = (3 1 5 1 0) + s·(2 1 5 1 1), c: X = (3 1 5 1 0) + r·(1 1 2 1 1), ε : x + y + z = 0 b a: X = (8 1 5 1 ‒3) + t·(7 1 4 1 ‒3), b: X = (8 1 5 1 ‒3) + s·(‒3 1 ‒2 1 ‒2), c: X = (8 1 5 1 ‒3) + r·(4 1 1 1 0), ε : x – y – z = 0 206 Spiegøe den Punkt P an der Ebene ε ! a P (2 1 3 1 4), ε : x + 2 y = 23 b P (5 1 1 1 7), ε : 4 x + y = 38 c P (1 1 ‒2 1 3), ε : x + y + z = 5 d P (3 1 0 1 5), ε : x + y + z = 5 207 Auf S. 30 hast du eine Formeø für die Berechnung des Abstandes eines Punktes P von einer Geraden g (güøtig im R 2 wie im R 3 ) kennen geøernt, aber keine (rechnerisch nachvoøøziehbare) Konstruktion für den Abstand d (P, g) im R 3 , weiø zu diesem Zeitpunkt die Berechnung von Normaøebenen noch nicht zur Ver- fügung stand. Überøege nun, wie du mitteøs der Normaøebene ν durch P auf g den Fußpunkt F des „Lotes” und damit d (P, g) berechnen kannst! Löse sodann Aufg. a 94 1 , b 94 2 , c 94 3 , d 95 1 , e 95 2 , f 95 3 auf diesem Weg! 208 Ermittøe auf dem in Aufg. 207 beschriebenen Weg den Abstand d (P, g), indem du zunächst die Normaøe ® durch den Punkt P auf die Gerade g fäøøst, deren Fußpunkt F aøs Schnittpunkt von ® und g berechnest und dann d (P, F) bestimmst! a P (3 1 2), g: 2 x + y = 4 b P (‒2 1 4), g: y – 3 x = 6 c P (5 1 4 1 3), g: X = (9 1 1 1 3) + t·(3 1 4 1 ‒5) d P (‒1 1 2 1 5), g: X = (1 1 5 1 11) + t·(3 1 ‒4 1 1) 209 Löse a Aufg. 208 a , b Aufg. 208 b mit den in der 5. Køasse erøernten Mitteøn! S 59 S 59 S 27 F 1.41 Fig. 1.41 b a c A ε B C D F 1.41 Fig. 1.42 P ε P I F 1.42 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv