Reichel Mathematik 6, Schulbuch

62 Räumliche Koordinatengeometrie 1 210 Ermittøe die Länge der Höhen im Dreieck ABC 1 mit der Abstandsformeø von S. 30, 2 mit den Über- øegungen in Aufg. 207, 3 a und b mit Mitteøn der 5. Køasse! a A (1 1 1), B (8 1 25), C (26 1 1) b A (‒1 1 1), B (19 1 16), C (19 1 ‒14) c A (2 1 3 1 0), B (14 1 ‒3 1 4), C (10 1 6 1 5) d A (1 1 0 1 ‒4), B (5 1 12 1 2), C (9 1 3 1 1) 211 Spiegeøe unter Verwendung von Aufg. 207 den Punkt P an der Geraden g ! a P (1 1 2 1 3), g: X = (4 1 5 1 2) + t·(1 1 0 1 ‒2) b P (3 1 2 1 5), g: X = (6 1 6 1 7) + t·(0 1 1 1 ‒1) c P (5 1 4 1 3), g: X = (9 1 1 1 3) + t·(3 1 4 1 ‒5) d P (‒1 1 2 1 5), g: X = (1 1 5 1 11) + t·(3 1 ‒4 1 1) 212 Erøäutere anhand einer Skizze, warum die foøgende Definition des Abstandes einer Geraden von einer Ebene unsinnig ist: d (g, ε ) = d (g, P) , wobei P * ε . Durch weøche zusätzøiche Forderung kann man daraus eine sinnvoøøe Definition gewinnen? 213 Wie kann man d (P, g) im Umweg über die trigonometrische Føächenformeø berechnen? 214 Iøøustriere und begründe die Definitionen anhand einer Zeichnung! a d (P, g) = __ À AP·sin ¼ ( __ À AP, g) wobei A * g b d (P, ε ) = __ À AP·sin ¼ ( __ À AP, ε ) wobei A * ε 215 Schreibe ein Computerprogramm zur Berechnung der Abstände! a 1 d (P, g) und 2 d (g, h) mit g u h b 1 d (P, ε ) und 2 d (g, ε ) mit g u ε und 3 d ( ε 1 , ε 2 ) mit ε 1 u ε 2 216 Leite die Formeø d (P, g) = 9 ___________ † __ À AP † 2 – ( __ À AP· __ À a 0 ) 2 für g: X = A + t· _ À a unter Verwendung der VP-Formeø her! 217 Leite die Formeø d (P, g) = 1/ † _ À a † · 9 ______________ † __ À AP † 2 · † _ À a † 2 – ( __ À AP· _ À a) 2 her, indem du in der Formeø in Aufg. 214 a sin φ durch cos φ ausdrückst! 218 Erøäutere und begründe anhand von Fig. 1.44 die Ermittøung des Abstandes zweier windschiefer Geraden g und h über die foøgende „Konstruktion“ des Gemeinøotes (weøches ja diesen Abstand „trägt“)! 1) Hiøfsebene γ : g ² γ , _ h ² γ mit _ h u h 2) Normaøvektor _ À n von γ 3) Hiøfsebene δ : g ² δ , _ À n u δ 4) δ ° h = {F h } 5) Gemeinøot ® : F h * ® , ® u _ À n 6) ø ° g = {F g } 7) d (F g , F h ) = d (g, h) 219 Interessiert man sich nur für den Abstand d (g, h), nicht jedoch für das Gemeinøot ® und seine Fußpunkte F g und F h , so fährt man nach den Schritten 1) und 2) von Aufg. 218 wie angegeben fort. Erøäutere und be- gründe diese Vorgangsweise! 3’) Beøiebige Hiøfspunkte G * g, H * h wähøen 4’) d (g, h) = † __ À GH· __ À n 0 † 220 Ermittøe den Abstand der beiden windschiefen Geraden gemäß 1 Aufg. 218, 2 Aufg. 219! a g: X = (‒2 1 0 1 9) + s·(2 1 0 1 3), h: X = (1 1 11 1 ‒3) + t·(4 1 ‒9 1 3) b g: X = (0 1 8 1 ‒2) + s·(‒3 1 4 1 0), h: X = (6 1 8 1 2) + t·(3 1 4 1 0) Blättere dieses Kapitel nochmals Seite für Seite durch und überprüfe anhand des nachfolgenden Kompetenzchecks, ob du die jeweils in den Überschriften genannten Kompetenzen (im gewünsch- ten Anspruchsniveau) erworben hast! Fig. 1.43 P P I g n F 1.43 Fig. 1.44 g h h ø δ γ F g F h 150501-062 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv