Reichel Mathematik 6, Schulbuch

8 Räumliche Koordinatengeometrie 1 Koordinatisieren von Pfeilen und Vektoren 1. Ortspfeile ( š Punkte) und Pfeile koordinatisieren Die kartesischen Koordinaten x P , y P und z P lassen sich nicht nur als Beschreibung eines Ortes auffassen, sondern ebenso als Beschrei- bung des kürzesten Weges vom Ursprung O zum Punkt P , genannt Ortspfeil __ À OP . Wie im zweidimensionalen Fall kann man den kürzesten Weg zwi- schen einem beliebigen Weganfangspunkt A und einem beliebigen Wegendpunkt E als orientierte Strecke AE , genannt Pfeil __ À AE , gra- phisch darstellen und durch ein geordnetes Zahlentripel (die karte- sischen Pfeilkoordinaten) in Zeilenform bzw. Spaltenform beschrei- ben. Für das praktische Rechnen wichtig sind die beiden (unmittelbar aus Fig. 1.5 ablesbaren) Regeln: Regel „Spitze minus Schaft“-Regeø: __ À AE = E – A dh. x AE = x E – x A y AE = y E – y A É “ x AE y AE z AE § = “ x E – x A y E – y A z E – z A § z AE = z E – z A Regel „APPEnd“-Regeø: A + __ À AE = E dh. x A + x AE = x E y A + y AE = y E É “ x A + x AE y A + y AE z A + z AE § = “ x E y E z E § z A + z AE = z E 2. Länge eines Pfeils berechnen Wie aus Fig. 1.5 ersichtlich lässt sich die Länge des Pfeils __ À AE (die Distanz zwischen der Pfeilspitze E und dem Pfeilschaft A ) als Länge der Raumdiagonalen des Koordinatenquaders unter Verwendung des pythagoreischen Lehrsatzes berechnen. Satz Distanzformeø: d (A, E) = __ AE = † __ À AE † = 9 ___________ x AE 2 + y AE 2 + z AE 2 Beispiel B Steøøe das Dreieck A (1 1 0 1 0), B (1 1 4 1 3), C (‒1 1 1 1 2) im Schrägriss dar! Berechne die Längen der Seiten und vergøeiche mit den aus dem Schrägriss abøesbaren Werten! Lösung: __ AB = † __ À AB † = 9 ________ 0 2 + 4 2 + 3 2 = 5 __ BC = † __ À BC † = 9 _____________ (‒2) 2 + (‒3) 2 + (‒1) 2 ≈ 3,74 __ CA = † __ À CA † = 9 ____________ 2 2 + (‒1) 2 + (‒2) 2 = 3 Messergebnisse für die Biødstrecken: __ AB = 5,0; __ BC = 2,0; __ CA = 3,6 Die Strecke AB erscheint im Schrägriss in wahrer Länge 1 . Die Strecke BC erscheint im Schrägriss verkürzt. Die Strecke CA erscheint im Schrägriss verøängert. 1 Wir haben das nur durch eine Messung „nachgewiesen“. Der exakte Nachweis gründet sich darauf, dass die Strecke AB parallel zur Bildebene π (= π 2 ) liegt. 1.1 0P z P y P x P P x y z 0 Fig. 1.4 F 1.4 z E – z A y E – y A x E x A – E A x y z 0 AE E I A I Fig. 1.5 C B x y z 0 C I B I A=A I Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv