Reichel Mathematik 6, Schulbuch

89 2.3 Potenzen und Wurzeln von Polynomen 2 Potenzen und Wurzeln von Polynomen 1. Polynome multiplizieren Summen und Differenzen von Potenzen bezeichnet man als Polynome . Treten nur Potenzen mit der Ba- sis x auf, so ergibt sich als Normalform des Polynoms ein Ausdruck der Gestalt: a n x n + a n – 1 x n – 1 + a n – 2 x n – 2 + … + a 1 x + a 0 Es gibt auch Polynome in zwei oder mehreren Variablen, zB x 5 + 3 x 3 y – xy 7 + y + 5 . Unter bestimmten Voraussetzungen – Weøchen? – existiert auch für solche Polynome eine Normalform, nämlich  a n x n + a n – 1 x n – 1 y + a n – 2 x n – 2 y 2 + … + a 1 xy n – 1 + a 0 y n Müssen Polynome mit mehreren Gliedern miteinander multipliziert werden, bietet sich eine Schreib- weise an, die der Multiplikation mehrstelliger Zahlen nachempfunden ist. Beispiel P Berechne (x 3 – 2 x 2 + x – 1)·(x 2 + 2 x + 1)! Lösung: (x 3 – 2 x 2 + x – 1)·(x 2 + 2 x + 1) x 5 – 2 x 4 + x 3 – x 2 … erste Køammer maø x 2 2 x 4 – 4 x 3 + 2 x 2 – 2 x … erste Køammer maø 2 x x 3 – 2 x 2 + x – 1 … erste Køammer maø 1 x 5 – 2 x 3 – x 2 – x – 1 … Summe der Teiøprodukte Bemerkung: Wichtig dabei ist, dass man die Potenzen nach fallenden Exponenten ordnet und dass „rich- tig“ untereinander geschrieben wird. Dieses Verfahren lässt sich auch auf Polynome mit zwei Variablen anwenden: Beispiel Q Berechne (x 3 + 2x 2 y + xy 2 – y 3 )·(x 2 – 2y 2 )! Lösung: (x 3 + 2 x 2 y + x y 2 – y 3 )·(x 2 – 2y 2 ) x 5 + 2 x 4 y + x 3 y 2 – x 2 y 3 … erste Køammer maø x 2 – 2 x 3 y 2 – 4 x 2 y 3 – 2 xy 4 + 2y 5 … erste Køammer maø ‒2 y 2 x 5 + 2 x 4 y – x 3 y 2 – 5 x 2 y 3 – 2 xy 4 + 2y 5 … Summe der Teiøprodukte 2. Polynome dividieren Auch beim Dividieren von Polynomen ist es günstig, das Divisionsverfahren für ganze Zahlen (bzw. De- zimalzahlen) nachzuahmen. Verdeutlichen wir uns dazu das Verfahren (das wir ja zum Teil im Kopf durchführen) an der Division 553545 nochmals: 553545 = 123 45 entsteht aus 45·1 103 1 . Zwischenrest ( 55 – 45 = 10 , nächste Stelle 3 „herab“) 90 entsteht aus 45·2 135 2 . Zwischenrest ( 103 – 90 = 13 , nächste Stelle 5 „herab“) 135 entsteht aus 45·3 0 Rest Das Verfahren endet, wenn der Rest 0 entsteht – was nicht passieren muss. Dann entstehen periodische Dezimalzahlen. Analog gehen wir beim Dividieren von Polynomen vor. 2.3 ‒ ‒ ‒ Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv