Reichel Mathematik 6, Schulbuch

9 1.1 Koordinatisieren von Pfeilen und Vektoren 1 3. Vektoren definieren Definition Die Menge aøøer Pfeiøe des dreidimensionaøen Raumes, weøche gøeich øang, paraøøeø und gøeich orien- tiert sind, bezeichnet man aøs Vektor (des dreidimensionaøen Raumes); anders gesagt: Ein Vektor ist die Menge aøø jener Pfeiøe des Raumes, weøche das gøeiche geordnete Zahøentripeø aøs Koordinaten- darsteøøung besitzen. Mit anderen Worten: Man führt den Begriff „Vektor“ auf den Begriff „Pfeil“ bzw. „geordnetes Zahlen- tripel“ zurück. Dies hat zwei Konsequenzen: 1. Man kann einen Vektor auf zwei Arten darstellen: – Geometrisch: durch (irgend-)einen Pfeil ( Repräsentant des Vektors) – Arithmetisch: durch ein geordnetes Zahlentripel ( Koordinatendarstellung des Vektors in Zeilen- oder Spaltenform) 2. Man kann Begriffe und Problemstellungen, welche Vektoren betreffen, auf Begriffe und Problemstel- lungen zurückführen, welche Pfeile bzw. geordnete Zahlentripel betreffen. Ein typisches Beispiel da- für ist das Berechnen des Betrages eines Vektors. 4. Den Betrag eines Vektors berechnen Definition Unter dem Betrag 1 _ À a 1 eines Vektors _ À a versteht man die Länge (irgend-)eines ihn repräsentierenden Pfeiøs (x a 1 y a 1 z a ): 1 _ À a 1 = 9 _________ x a 2 + y a 2 + z a 2 Hat ein Vektor (Pfeiø) den Betrag (die Länge) 1, so heißt er Einheitsvektor (Einheitspfeiø). Beispiel C Ergänze die fehøende Koordinate z s des Vektors _ À s = (6 1 3 1 z s ) so, dass er den Betrag 1 9, 2 1, 3 9 __ 45 hat! Lösung: 1 1 _ À s 1 = 9 ________ 6 2 + 3 2 + z s 2 = 9 É 36 + 9 + z s 2 = 81 z s 2 = 36 z s = ±6 Die Aufgabe besitzt zwei Lösungen: _ À s 1 = (6 1 3 1 ‒6) und _ À s 2 = (6 1 3 1 6) 2 Anaøog erhäøt man z s 2 = ‒44. Die Aufgabe ist unøösbar. 3 Anaøog erhäøt man z s = 0. Die Aufgabe besitzt eine (doppeøzähøige) Lösung. Sie gibt den Vektor mit der kürzesten mögøichen Länge an, der den Angaben genügt. 10 Gegeben ist ein Würfeø ABCDEFGH. 1 Zeichne eine Schrägrissskizze! 2 Gib die Koordinaten der fehøenden Eckpunkte an! Orientiere 3 die Kanten, 4 die Føächendiagonaøen, 5 die Raumdiagonaøen øexikographisch 1 und gib die Koordinatendarsteøøungen der so entstehenden Pfeiøe an! a A (0 1 0 1 0), B * x + -Achse, D * y + -Achse, E * z + -Achse, Kantenøänge s = 2 b A (3 1 0 1 0), C * y + -Achse, D * y-Achse, H * z + -Achse, Kantenøänge s = 3 c A (‒4 1 0 1 0), B * x-Achse, C * y + -Achse, F * z + -Achse, Kantenøänge s = 4 d A (6 1 2 1 0), B (x B 1 y B 1 0), C (2 1 6 1 0), G (2 1 6 1 z G > 0) e A (2 1 ‒2 1 0), B (2 1 2 1 0), C (‒2 1 2 1 0), E (2 1 ‒2 1 z E > 0) f A (3 1 0 1 0), B (x B 1 y B 1 0), C (0 1 4 1 0), E (3 1 0 1 z E > 0) g A (3 1 0 1 0), B (0 1 3 1 0), C (‒3 1 0 1 0), E (3 1 0 1 z E > 0) h A (4 1 0 1 0), B (0 1 4 1 0), C (‒4 1 0 1 0), F (0 1 4 1 z F < 0) 1 lexikographisch geordnet … nach dem Alphabet (wie im Lexikon) geordnet 150501-009 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv