Reichel Mathematik 6, Schulbuch

90 Potenz- und Wurzelfunktion 2 Beispiel R Berechne (x 5 – 2 x 3 – x 2 – x – 1)(x 2 + 2 x + 1)! Lösung: ( x 5 – 2 x 3 – x 2 – x – 1)( x 2 + 2 x + 1) = x 3 ‒2 x 2 +x ‒1 ) ¥ x 5  x 2 = x 3 x 5 + 2 x 4 + x 3 entsteht aus (x 2 + 2 x + 1) · x 3 ‒2 x 4 – 3 x 3 – x 2 1. Zwischenrest ¥ ‒2 x 4  x 2 = ‒2 x 2 ‒2 x 4 – 4 x 3 – 2 x 2 entsteht aus (x 2 + 2 x + 1) ·(–2 x 2 ) x 3 + x 2 – x 2. Zwischenrest ¥ x 3  x 2 = x x 3 + 2 x 2 + x entsteht aus (x 2 + 2 x + 1) · x ‒x 2 – 2 x – 1 3. Zwischenrest ¥ ‒x 2  x 2 = ‒1 ‒x 2 – 2 x – 1 entsteht aus (x 2 + 2 x + 1) ·( ‒1) 0 Rest Formuøiere anhand des Beispieøs R den Divisionsaøgorithmus für Poøynome! Man muss folgende Schritte durchführen: 0. Beide Polynome nach fallenden Potenzen reihen (sonst hat man dann ein „Durcheinander“). 1. (1. Glied des Dividendenpolynoms)  (1. Glied des Divisorpolynoms) = 1. Glied des Quotientenpolynoms 2. (Divisorpolynom) · (1. Glied des Quotientenpolynoms) = 1. Zwischenprodukt (richtig darunter schrei- ben!) 3. Subtrahieren des 1. Zwischenproduktes vom Dividendenpolynom (eventuell alle Vorzeichen im 1. Zwi- schenprodukt wechseln – Addieren ist leichter als Subtrahieren) = 1. Zwischenrest 4. Ersetze den Dividenden durch den 1. Zwischenrest und fahre bei Punkt 1. fort! Wann (be)endet (man) das Verfahren? Begründe! Dieses Verfahren lässt sich auch auf Polynome mit zwei Variablen anwenden: Beispiel S Berechne (x 5 + 2 x 4 y – x 3 y 2 – 5 x 2 y 3 – 2 xy 4 + 2 y 5 )(x 2 – 2 y 2 )! Lösung: (x 5 + 2 x 4 y – x 3 y 2 – 5 x 2 y 3 – 2 xy 4 + 2 y 5 )(x 2 – 2 y 2 ) = x 3 + 2 x 2 y + xy 2 – y 3 x 5 – 2 x 3 y 2 + 2 x 4 y + x 3 y 2 – 5 x 2 y 3 + 2 x 4 y – 4 x 2 y 3 x 3 y 2 – x 2 y 3 – 2 xy 4 x 3 y 2 – 2 xy 4 – x 2 y 3 + 2 y 5 – x 2 y 3 + 2 y 5 0 Rest Eine wichtige Anwendung des Dividierens ist das Herausheben, bei dem ein Polynom in ein Produkt von (zumeist) einem Monom und einem Polynom umgeformt wird. Dabei muss der Divisor „erraten“ werden. Beispiel T Vereinfache a 6 x 3 y 3 – 8 x 2 y 3 , b 6 x ‒3 y – 3 – 8 x ‒2 y ‒3 ! Lösung: a 6 x 3 y 3 – 8 x 2 y 3 = (2 · 3) · (x 2 · x) · y 3 – (2 · 4) · x 2 · y 3 = 2 x 2 y 3 · (3 x – 4) b 6 x ‒3 y ‒3 – 8 x ‒2 y ‒3 = (2 · 3) · x ‒3 · y ‒3 – (2·4) · (x ‒3 · x) · y ‒3 = 2 x ‒3 y ‒3 · (3 – 4 x) Eine weitere Möglichkeit Polynome in ein Produkt zu zerlegen ist das Anwenden der binomischen For- meln, auf deren Verallgemeinerungen wir später eingehen werden. Beispiel U Zerøege a 4a 2 – 12ab + 9b 2 , b 9a 2 – 4b 2 ! Lösung: a 4a 2 – 12ab + 9b 2 = (2a) 2 – 2·2a · 3b + (3b) 2 = (2a – 3b) 2 b 9a 2 – 4b 2 = (3a) 2 – (2b) 2 = (3a – 2b) (3a + 2b) S 92 150501-090 Nur zu Prüfzwecken – Eige tum des Verlags öbv