Reichel Mathematik 6, Schulbuch

91 2.3 Potenzen und Wurzeln von Polynomen 2 3. Nenner wurzelfrei machen Ist der Nenner eines Bruches ein Ausdruck, der Wurzeln enthält, so versucht man den Bruch so ge- schickt zu erweitern, dass die Wurzeln wegfallen. Steht im Nenner wie etwa bei 1 __ 9 __ 2 oder a 2 – b ____ 3 9 __ a nur ein Monom , so wendet man die Potenzrechenregeln aus Kap. 2.2 an. Treten dabei auch Binome auf, so stützt man sich auf eine der folgenden Zerlegungsformeln, wie sie in Aufg. 395 bewiesen werden: Satz Zerøegungsformeøn: 1) a 2 – b 2 = (a – b)·(a + b) 2) a 2 + b 2 … unzerøegbar in R 3) a 3 – b 3 = (a – b)·(a 2 + ab + b 2 ) 4) a 3 + b 3 = (a + b)·(a 2 – ab + b 2 ) Beispiel V Mache die Nenner der foøgenden Bruchterme wurzeøfrei! a a – b _____ 9 _ a + 9 _ b a ≠ b b a – b _____ 3 9 _ a + 3 9 _ b a ≠ b Lösung: Wir erweitern geeignet: a a – b _____ 9 _ a + 9 _ b = a – b _____ 9 _ a + 9 _ b · 9 _ a – 9 _ b _____ 9 _ a – 9 _ b = (a – b)·( 9 _ a – 9 _ b) __________ a – b = 9 _ a – 9 _ b Gemäß Zerøegungsformeø 1) ist ja ( 9 _ a + 9 _ b)·( 9 _ a – 9 _ b) = 9 _ a 2 – 9 _ b 2 = a – b b a – b _____ 3 9 _ a – 3 9 _ b = a – b _____ 3 9 _ a – 3 9 _ b · 3 9 __ a 2 + 3 9 __ ab + 3 9 __ b 2 _________ 3 9 __ a 2 + 3 9 __ ab + 3 9 __ b 2 = (a – b)· “ 3 9 __ a 2 + 3 9 __ ab + 3 9 __ b 2 § ______________ a – b = 3 9 __ a 2 + 3 9 __ ab + 3 9 __ b 2 Gemäß Zerøegungsformeø 3) ist ja “ 3 9 _ a – 3 9 _ b § · “ 3 9 __ a 2 + 3 9 __ ab + 3 9 __ b 2 § = 3 9 __ a 3 – 3 9 __ b 3 = a – b 4. Potenzen von Binomen – PASCAL’sches Dreieck und binomischen Lehrsatz kennen Zum Potenzieren von Binomen kennen wir bereits folgende Formeln aus der Unterstufe: Satz Binomische Formeøn: 1) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 2) (a – b) 2 = a 2 – 2ab + b 2 3) (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 4) (a – b) 3 = a 3 – 3a 2 b + 3ab 2 – b 3 Siehst du eine Gesetzmäßigkeit? Gib ohne zu rechnen deine Vermutung an, weøche Gestaøt (a + b) 4 und (a + b) 5 haben werden! (a + b) 4 = (a + b) 3 ·(a + b) = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4 (a + b) 5 = (a + b) 4 ·(a + b) = a 5 + 5a 4 b + 10a 3 b 2 + 10a 2 b 3 + 5ab 4 + b 5 Allgemein lassen sich folgende Gesetzmäßigkeiten (Eigenschaften) für (a + b) n vermuten: 1) Der Potenzexponent von a beginnt mit n und wird bei jedem nachfolgenden Glied um 1 kleiner, der von b hingegen beginnt mit 0 (beachte b 0 = 1 ) und wird jeweils um 1 größer. 2) Die Koeffizienten der Potenzen des Binoms ( Binomialkoeffizienten ) sind symmetrisch angeordnet. 3) Der erste (und der letzte) Koeffizient ist 1 , der zweite (und der vorletzte) n . 4) Um eine Regel für die anderen Koeffizienten zu finden, betrachten wir wie etwa 10 bei 10a 3 b 2 zustan- de gekommen ist: Sie ergab sich beim Ausmultiplizieren aus 4·a 3 b·b + 6·a 2 b 2 ·a = (4 + 6)·a 3 b 2 , also aus der Summe zweier Koeffizienten der vorhergehenden Reihe. Die Eigenschaften 1) bis 4) erkennt man noch viel deutlicher, wenn man die Binomialkoeffizienten in Form eines Dreiecks, des so genannten PASCAL’schen Dreiecks , anordnet, in dem auch die Koeffizienten von (a + b) 0 = 1 und (a + b) 1 = 1·a + 1·b eingetragen sind. + Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verl gs öbv