Reichel Mathematik 6, Schulbuch

92 Potenz- und Wurzelfunktion 2 PASCAL’sches Dreieck Um die Eigenschaften 1) bis 4) formelmäßig niederschreiben zu können, ist es zweckmäßig, einige Vereinbarungen einzuführen: n ist die Hochzahl * N , mit der potenziert wird; k ist die Stelle des entstehenden Polynoms, wobei mit 0 zu zählen begonnen wird; daher hat zB 10a 3 b 2 die 2. Stelle ( k = 2 ) in der Entwicklung von (a + b) 5 inne. “ n k § ist der zur k -ten Stelle gehörende Binomialkoeffizient des Polynoms (a + b) n . Ermittøe mitteøs PASCAL’schem Dreieck “ 4 2 § , “ 5 3 § , “ 6 3 § und “ 7 2 § ! Ergebnis: 6, 10, 20 und 21. Aus diesen Überlegungen ergibt sich der Satz Binomischer Lehrsatz: (a + b) n = “ n 0 § ·a n + “ n 1 § ·a n – 1 b + “ n 2 § ·a n – 2 b 2 + … + “ n n § ·b n Bemerkung: Wegen a – b = a + ( – b) lässt sich damit auch (a – b) n berechnen . Die Eigenschaft 1) ist unmittelbar aus dem binomischen Lehrsatz ersichtlich. Die anderen Eigenschaften 2) bis 4) lauten formal: 2) “ n k § = “ n n – k § 3) “ n 0 § = “ n n § = 1 , “ n 1 § = “ n n – 1 § = n 4) “ n k § + “ n k + 1 § = “ n + 1 k + 1 § Der Beweis erfolgt in zwei Schritten: Erstens weisen wir nach, dass die Aussagen für n = 1 stimmen. Zweitens weisen wir nach: Falls die Aussagen für n stimmen, so stimmen sie auch für n + 1 . Bildlich aus- gedrückt: Um nachzuweisen, dass man eine unendlich hohe Leiter emporsteigen könnte, muss man nur zwei Dinge zeigen, nämlich, wie man auf die erste Sprosse gelangt und wie man von einer Spros- se auf die jeweils nächste gelangt. Ein solches Beweisverfahren nennt man vollständige Induktion . 1. Schritt auf die „erste Sprosse“: “ 1 0 § ·a 1 + “ 1 1 § ·b 1 = a + b 2. Schritt von der n-ten auf die ( n + 1 )-te Sprosse: (a + b) n ·(a + b) = = “ n 0 § ·a n ·a + “ n 1 § ·a n – 1 b·a + … + “ n k + 1 § ·a n – k – 1 b k+1 ·a + … + “ n n § ·b n ·a + + “ n 0 § · a n ·b + “ n 1 § ·a n – 1 b·b + … + “ n k § ·a n – k b k ·b + … + “ n n § ·b n ·b = “ n 0 § ·a n + 1 + “ “ n 0 § + “ n 1 § § · a n b + … + “ “ n k § + “ n k + 1 § § ·a n – k b k + 1 + … + “ n n § ·b n + 1 = (a + b) n + 1 B. PASCAL (1623–1662) A 412 S 91 150501-092 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv