Reichel Mathematik 6, Schulbuch

93 2.3 Potenzen und Wurzeln von Polynomen 2 Man sieht im Vergleich mit der Entwicklung von (a + b) n + 1 mittels binomischem Lehrsatz: 1) Die Exponentensumme ist jeweils n – k + k + 1 , also tatsächlich n + 1 . 2) “ n + 1 k + 1 § ist wie behauptet “ n k § + “ n k + 1 § . 3) Der erste und der letzte Koeffizient “ n + 1 0 § und “ n + 1 n + 1 § ist tatsächlich 1 , ebenso ist der zweite und der vorletzte Koeffizient “ n + 1 1 § und “ n + 1 n § gleich n + 1 . Bleibt nur noch die Symmetrie nachzuweisen: Da die Ausgangsfigur 1 1 1 an der Spitze des PASCAL’schen Dreiecks symmetrisch ist und die Koeffizienten der jeweils folgenden Reihe bis auf den ersten und letz- ten, die ja 1 sind, durch Addition der beiden darüber stehenden entstehen, müssen auch die so errech- neten Koeffizienten symmetrisch sein. 391 Steøøe ohne Køammern dar! a (u – v) 3 ·(u – v) b (x + y)·(x + y) 3 c (a + b) 2 ·(a + b) 3 d (a – b) 2 ·(a – b) 3 e (x 3n + x 2n + x n – 1)·(x n – 1) f (x 3n – x 2n – x n + 1)·(x n + 1) g (x 2n – 2 + x n + 1 + x 4 )·(x n – 1 – x 2 ) h (x 2n – 2 – x n + 1 + x 4 )·(x n – 1 + x 2 ) 392 Berechne! a (a 2 + a + 1)·(a – 1) b (a 3 + a 2 + a + 1)·(a – 1) c (a n – 1 + a n – 2 + a n – 3 + … + a 2 + a + 1)·(a – 1) d (x n – 1 + x n – 2 y + x n – 3 y 2 + … + xy n – 2 + y n – 1 )·(x – y) 393 Berechne aøs Potenz eines Binoms und schreibe das Ergebnis wieder aøs gemischte Zahø! a “ 3 1 _ 2 § 2 b “ 2 1 _ 3 § 2 c “ 1 1 _ 2 § 2 d “ 1 2 _ 3 § 2 394 Berechne! a (2a 3 – 4b 2 ) 2 b (2a 2 – 3b 3 ) 2 c (x n + 3 x) 2 d (x n – 2 x) 2 e (3 x 3 – 4 y 2 ) 3 f (2 x 2 + 4 y 3 ) 3 g (x 2n + 2 x n ) 3 h (2 y r – 3 y s ) 3 395 Beweise die Zerøegungsformeø a 1), b 3), c 4) von Seite 91! 396 Zerøege in Faktoren! a 32 x 8 y 6 – 16 x 4 y 5 b 12 x 5 y 6 + 16 x 4 y 7 c 12 x 2n + 2 y – 3 x 2 y 2n + 1 d 2a 3n + 1 b 2 – 16ab 3n + 2 e 48 x 4n + 1 – 3xy 4n f 24 x 3n + 2 – 3 x 2 y 3n 397 Berechne! a (a – b) 4 (a – b) b (u – v) 6 (u – v) 3 c (x 3 + 1)(x + 1) d (x 4 – y 4 )(x – y) e (x 3n + 1)(x n + 1) f (x 3n – 1)(x n – 1) 398 Kürze! a 6x 4 + 3x 2 ______ 12x 6 – 3x 2 b 8a 4 – 8a 3 + 2a 2 _________ 6a 5 – 3a 4 399 Dividiere! a (x 2n + 1 – x 2n – 3 )(x n – 1 + x n – 2 ) b (x 2n + 2 – x 2n )(x n – 1 + x n – 2 ) 400 Zerøege das Poøynom in ein Produkt von zwei Poøynomen! a 16 x 4 – y 4 b x 4 – 81 y 4 c 8a 3 – b 6 d 8a 3 + b 6 e 81 x 4 – 16 y 2 f 256 x 2 – 8 y 4 g x 4 – 2 x 2 y 2 + y 4 h 16 x 4 – 8 x 2 y 2 + y 4 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv