Reichel Mathematik 6, Schulbuch

95 2.4 Rückblick und Ausblick 2 Rückblick und Ausblick 1. Einen „Isomorphismus“ kennen lernen Das Multiplizieren bzw. Dividieren von Potenzen mit gleichen Grundzahlen haben wir auf das Addieren und Subtrahieren der Hochzahlen zurückgeführt, analog das Potenzieren und Radizieren von Potenzen auf das Multiplizieren und Dividieren der Hochzahlen. Betrachten wir das Multiplizieren näher: Sei P die Menge der Potenzen mit der festen Basis a (a > 0) und Z die Menge der zugehörigen Exponen- ten, also P = {…, a –n , …, a –2 , a –1 , a 0 , a 1 , a 2 , …, a n , …} und Z = {…, ‒n, …, ‒2, ‒1, 0, 1, 2, …, n, …} , dann las- sen sich die Mengen P und Z bijektiv (umkehrbar eindeutig) zuordnen (siehe Abbildung). Wegen der Rechenregel a n ·a m = a n + m wird das Produkt zweier Elemente aus P umkehrbar eindeutig der Summe der zugehörigen Elemente aus Z zugeordnet. P … a ‒n … a ‒2 a ‒1 a 0 a 1 a 2 … a n … a n ·a m Z … ‒n … ‒2 ‒1 0 1 2 … n … n + m Ganz allgemein nennt man eine bijektive Abbildung zweier Mengen aufeinander verknüpfungstreu oder einen Isomorphismus, wenn in jeder der Mengen eine Rechenoperation definiert ist, sodass auch die Ergebnisse der Rechenoperationen einander wieder zugeordnet sind. Man kann daher sagen: (P, ·) und ( Z , +) sind isomorph 1 . 2. Potenzen und Wurzeln im historischen Rückblick kennen lernen Rationale Exponenten wurden bereits im Mittelalter von Nicole ORESME (1323–1382) verwendet. Die moderne Potenzrechnung begann allerdings erst mit Michael STIFEL (1487?–1567). Von ihm stammt auch die Be- zeichnung „Exponent“. Im Jahre 1544 gab er eine Zusammenfassung der damaligen Kenntnisse über die Potenzrechnung. In den Arbeiten von Gerard DESARGUES (1591–1661) und Isaac NEWTON (1643–1727) traten bereits Variablen als Exponenten auf. Die exakte Berechnung von Wurzeln gelingt im Allgemeinen nicht mit Hilfe der vier Grundrechnungsarten, die man als die rationalen 2 Re- chenoperationen bezeichnet. Durch rationales Rechnen erhält man meist lediglich Näherungswerte der zu bestimmenden Wurzeln. Wir werden in Kap. 7 und 4.0 rationale Näherungsverfahren kennen lernen, die es uns erlauben, Wurzeln beliebig genau zu berechnen. Die vier Grundrechnungsarten zusammen mit der Berechnung von Wurzeln n 9 __ a , n * N * werden als alge- braische Rechenverfahren bezeichnet. Da es im Altertum noch keine Algebra im heutigen Sinne gab, war man bei der Lösung mathematischer Probleme auf konstruktive Verfahren angewiesen, die sich im Wesentlichen auf die Verwendung von Lineal und Zirkel stützten (für beides reichte eine Schnur mit zwei Pflöcken, da man im Allgemeinen auf Sand zeichnete). Etwa in der Mitte des 5. Jahrhunderts v. Chr. begannen sich die griechischen Geometer mit dem Prob- lem der Würfelverdoppelung (dem delischen Problem ) zu befassen. In ihrer Ratlosigkeit, wie die ver- heerende Pest zu besiegen sei, wandten sich die Bürger von Delos an das Orakel von Delphi. 1 isomorph (griech.) … gleichgestaltig 2 ratio (lat.) … Bruch, Rechnung 2.4 I. NEWTON (1643–1727) Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv