Reichel Mathematik 6, Schulbuch

96 Potenz- und Wurzelfunktion 2 Der erbetene Spruch lautete: Der würfelförmige Altar sollte durch einen würfelförmigen Altar von ge- nau doppeltem Volumen ersetzt werden. Mit anderen Worten: Es sollte aus der gegebenen Kantenlänge a eines Würfels die Kantenlänge a 1 des Würfels mit dem doppelten Volumen konstruiert werden, dh.: a 1 = a· 3 9 __ 2 . Allen diesbezüglichen Versuchen blieb der Erfolg versagt, was sogar in einer Tragödie des EURIPIDES (um 480–406 v. Chr.) seinen Niederschlag fand: Der Grund für den Fehlschlag trat erst in der Neuzeit zutage: Man konnte beweisen, dass sich 3 9 __ 2 nicht allein mit Zirkel und Lineal als Strecke konstruieren lässt. Das war den Griechen unbekannt; sie hoff- ten, mit Lineal und Zirkel alle Konstruktionen ausführen zu können, ohne zu bedenken, dass mit beschränkten Mitteln (Lineal, Zirkel) im Allgemeinen nur beschränkte Ziele zu erreichen sind. 3. Die Begriffe gerade und ungerade Funktion kennen In diesem Kapitel ist es uns gelungen schrittweise den Potenzbegriff, der zunächst nur für natürlichzah- lige Exponenten definiert war, auf ganzzahlige und schließlich sogar auf rationale Exponenten auszu- dehnen. Im Zuge dessen haben wir die Potenzfunktionen mit ganzzahligen Exponenten untersucht und erkannt, dass ihre Graphen für gerade Exponenten symmetrisch zur y-Achse liegen, für ungerade Expo- nenten symmetrisch zum Ursprung. Diese Eigenschaft der Potenzfunktionen stand Pate bei der folgen- den Definition Eine Funktion heißt gerade Funktion , Eine Funktion heißt ungerade Funktion , wenn sie zur y-Achse symmetrisch ist, wenn sie zum Ursprung symmetrisch ist, dh.: f (‒x) = f (x) dh.: f (‒x) = ‒f (x) Darüber hinaus haben wir die Wurzelfunktionen w n y = n 9 _ x als die Umkehrfunktion der Potenzfunktion p n  y = x n eingeführt und erkannt, dass die Graphen von p n und w n jeweils symmetrisch zur 1. Mediane liegen. Dieser Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihrer Umkehrfunktion gilt ganz allgemein: Satz Jede bijektive Funktion f besitzt eine Umkehrfunktion f*. Die Graphen von f und f* øiegen bezügøich der 1. Mediane symmetrisch. Noch nicht gelöst haben wir die Frage, ob die in diesem Kapitel erfolgte Erweiterung des Potenzbegriffs bis hin zu rationalen Exponenten ihren natürlichen Abschluss gefunden hat, oder ob man den Potenz- begriff auch auf irrationale Exponenten ausdehnen kann, ob also zB 10 9 __ 2 oder 2 π eine Bedeutung zu- kommen kann! Dieser Frage, ob jede beliebige reelle Zahl als Exponent (sinnvoll) zulässig ist, werden wir uns im Kap. 6 zuwenden. „Zu klein entwarfst Du mir die königliche Gruft. Verdopple sie! Des Würfels Gestalt doch verfehle nicht!“ x y x ‒x f (x) f (‒x) x y x ‒x f (x) f (‒x) x y f f* Nur zu Prüfzwecken – Eigent m des Verlags öbv