Reichel Mathematik 6, Schulbuch

97 2.4 Rückblick und Ausblick 2 4. Wurzelgleichungen kennen und lösen Gleichungen, in denen die Variable (Variablen) (auch) unter einem Wurzelzeichen auftritt (auftreten), nennt man Wurzelgleichungen . Beispiel W Löse für G = R : a 9 ____ 2 x – 6 – 2 = 0 b 9 ____ 2 x – 6 + 2 = 0 Lösung: a 9 ____ 2 x – 6 = 2 ! 2 b 9 ____ 2 x – 6 = ‒2 ! 2 2 x – 6 = 4 2 x – 6 = 4 2 x = 10 2 x = 10 x = 5 x = 5 Probe: Probe: LS = 9 ____ 2 · 5 – 6 – 2 = 9 __ 4 – 2 = 0 = RS LS = 9 ____ 2 · 5 – 6 + 2 = 9 _ 4 + 2 = 4 ≠ 0 = RS L = {5} L = { } Begründe, warum man nicht gøeich quadrieren, sondern vorher die Wurzeø isoøieren soøø! Beachte: Da Quadrieren und Wurzelziehen in R keine Äquivalenzumformungen sind, ist es bei Wurzel- gleichungen äußerst wichtig stets eine Probe durchzuführen, um unzulässige Lösungen auszuschei- den! Treten mehrere Wurzeln auf, kann man wie folgt vorgehen: Beispiel X Löse in R : 4 9 ___ x – 1 + 3 9 ___ x + 2 = 9 _____ 25 x + 50 Lösung: 4 9 ___ x – 1 + 3 9 ___ x + 2 = 9 _____ 25 x + 50 ! 2 Beachte: (a · b) 2 = a 2 ·b 2 16 (x – 1) + 2·4 9 ___ x – 1·3 9 ___ x + 2 + 9 (x + 2) = 25 x + 50 aber (a ± b) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 16 x – 16 + 24· 9 _____ x 2 + x – 2 + 9 x + 18 = 25 x + 50 Wurzeø isoøieren 24· 9 _____ x 2 + x – 2 = 48 ! 24 so weit wie mögøich vereinfachen 9 _____ x 2 + x – 2 = 2 ! 2 quadrieren x 2 + x – 2 = 4 Hersteøøen der normierten Form x 2 + x – 6 = 0 der quadratischen Gøeichung und x 1,2 = ‒0,5 ± 9 ____ 0,25 + 6 øösen (vgø. Buch 5. Kø. S. 81!) x 1 = 2 x 2 = ‒3 Probe für x 1 : LS = 4 9 ___ 2 – 1 + 3 9 ___ 2 + 2 = 4 + 6 = 10, RS = 9 _____ 25·2 + 50 = 10, w 2 * L L = {2} Probe für x 2 : LS = 4 9 ____ ‒3 – 1 + 3· 9 ____ ‒3 + 2 ist nicht definiert w ‒3 + L Dass ‒3 keine Lösung ist, hätte man auch aus der Definitionsmenge ersehen können : x – 1 º 0 w x º 1 x + 2 º 0 w x º ‒2 w x º 1 w D = [1; • [ ° [‒2; • [ = [1; • [ 25 x + 50 º 0 w x º ‒2 Beispiel Y Löse für G = R : 9 _____ 2 – 2 x = 9 _____ 2 x – 6 Lösung: 9 _____ 2 – 2 x = 9 _____ 2 x – 6 ! 2 2 – 2 x = 2 x – 6 ‒4 x = ‒8 x = 2 Probe: LS = RS = 9 __ ‒2 ist nicht definiert, da der Radikand º 0 sein muss! w L = { } Die Unøösbarkeit der Gøeichung hätte man schon aus der Definitionsmenge ersehen können: 2 – 2 x º 0 w x ª 1 2 x – 6 º 0 w x º 3 w D = [3; • [ ° ]‒ • ; 1] = { } w L = { } K 3.1 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv