Reichel Mathematik 7, Schulbuch

108 Kurvendiskussionen – Funktionsmodelle 3 2. Eigenschaften der (Klasse der) rationalen Funktionen kennen Versuche aus Beispieø D aøøgemeine Eigenschaften der rationaøen Funktionen herauszuøesen und zu begründen! Vergøeiche mit der foøgenden Zusammensteøøung! 1) Rationale Funktionen sind definiert als Quotient zweier Polynomfunktionen p n (x) und q m (x) . Sie sind – außer bei den Nennernullstellen – stets in ganz R definiert und stetig. Bei den Nennernullstellen besitzen sie Unendlichkeitsstellen (Polstellen) mit senkrechten Asymptoten. Je nach der Vielfachheit der Nennernullstelle unterscheidet man zwischen einer Polstelle gerader Ordnung (Vielfachheit 2, 4 usw.) bzw. ungerader Ordnung (Vielfachheit 1, 3, 5 usw.). 2) Bei Ermittlung der Nullstellen hat man festzustellen, wann ein Bruch den Wert 0 annimmt. Prinzipi- ell kommen dafür zwei Fälle in Betracht: Fall 1: Zähler = 0 ? Nenner ≠ 0 (die Nullstellen des Zählerpolynoms liefern die Nullstellen von f ). Fall 2: Zähler ≠ ± • ? Nenner = ± • ; dieser Fall ist nicht möglich. Begründe! 3) Die Nullstellen der 1. Ableitungsfunktion liefern Stellen, an denen wahrscheinlich Extremstellen lie- gen. Ob dort tatsächlich Extrempunkte liegen, muss mit Hilfe der Bedingung f’’(x 0 ) ≠ 0 überprüft wer- den. Beachte jedoch: Bei dieser Vorgangsweise können Extremstellen „übersehen“ werden. Polstellen gerader Ordnung können in gewisser Weise als Extrema (mit Funktions-„Wert“ + • oder ‒ • ) aufgefasst werden. Begründe! 4) Die Nullstellen der 2. Ableitungsfunktion liefern Stellen, an denen wahrscheinlich Wendestellen lie- gen. Ob dort tatsächlich Wendepunkte liegen, muss mit Hilfe der Bedingung f’’’(x 0 ) ≠ 0 überprüft wer- den. Beachte jedoch: Bei dieser Vorgangsweise können Wendestellen „übersehen“ werden. Polstellen ungerader Ordnung können in gewisser Weise als Wendepunkte (mit Funktions-„Wert“ + • oder ‒ • ) angesehen werden. Begründe! 5) Die lokalen Extrempunkte sowie die Pole gerader Ordnung sind die „Nahtstellen“ zwischen Kurven- stücken unterschiedlichen Monotonieverhaltens. Das Lösen der Ungleichungen f’(x) > 0 bzw. f’(x) < 0 ist daher vielfach entbehrlich. 6) Die Wendepunkte sowie die Pole ungerader Ordnung sind die „Nahtstellen“ zwischen Kurvenstücken verschiedenen Krümmungsverhaltens. Das Lösen der Ungleichungen f’’(x) > 0 bzw. f’’(x) < 0 ist daher vielfach entbehrlich. 7) Für das Verhalten einer rationalen Funktion für x ¥ • bzw. x ¥ ‒ • gilt der Satz Satz von der asymptotischen Annäherung einer rationaøen Funktion an eine Poøynomfunktion: Es sei f: y = p(x)/q(x) eine rationaøe Funktion und a(x) das Quotientenpoøynom der Poøynomdivision p(x)q(x). Dann ist a asymptotische Funktion an f. Bemerkung: Ist der Graph der asymptotischen Funktion eine Gerade , so spricht man kurz von einer Asymptote . Beachte, dass es bei jeder Polstelle x i auch eine Asymptote gibt, nämlich in Form einer senkrechten Geraden . Dies lässt sich aber nicht wie die asymptotische Funktion durch eine Funktions- gleichung der Form y = a(x) beschreiben, sondern nur in der Form x = x i . 8) Der Graph von f kann natürlich nie ganz gezeichnet werden. Wegen 7) wissen wir aber, wie der Graph „weit draußen“ aussieht, und können daher die Zeichnung sinnvollerweise auf jenes Intervall beschränken, in dem der Graph von f von der zugehörigen asymptotischen Polynomfunktion „we- sentlich“ abweicht. 1 Insbesondere muss dieses Intervall die lokalen Extrempunkte und Wendepunk- te enthalten. Eine Wertetabelle für „Zwischenpunkte“ (wie sie in der 5. und 6. Klasse verwendet wurde) ist vielfach entbehrlich. 9) Die Symmetrie muss im Einzelnen (zB mit Hilfe der Symmetriebedingungen ) nachgewiesen wer- den. 10) Rationale Funktionen sind nicht periodisch. 1 Das Finden dieses „sinnvollen“ Intervalls ist ein wesentlicher Teil der Kurvendiskussion. In den Aufgaben wird dieses Intervall – um es nicht zu „verraten“ – daher im Allgemeinen nicht vorgegeben. S 100 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv