Reichel Mathematik 7, Schulbuch

109 3.3 Diskussion von rationalen Funktionen 3 3. Umkehraufgaben (Modellbildungsaufgaben) formulieren und lösen Beispiel E f: y = x 2 – ax ____ x – b besitzt den Extrempunkt E(4 1 1). Ermittøe die Funktionsgøeichung! Lösung: Wir biøden zunächst die 1. Abøeitung: y’ = x 2 – 2bx + ab ________ (x – b) 2 Aus der Angabe des Punktes E kann man zwei Gøeichungen herøeiten: E ist Kurvenpunkt: f (4) = 1 = 4 2 – a·4 _____ 4 – b und E ist Extrempunkt: f’(4) = 0 = 4 2 – 2b·4 + ab _________ (4 – b) 2 Wir berechnen aus der øinken Gøeichung a = 4 2 – (4 – b) _______ 4 = 12 + b ____ 4 und setzen in die rechte ein: 0 = 16 – 8b + 12 + b _____ 4 ·b ___________ (4 – b) 2 w 0 = b 2 – 20b + 64 b 1 = 16 w a 1 = 7 b 2 = 4 w a 2 = 4 Ergebnis: Es gibt zwei rationaøe Funktionen, die der Angabe (zu) genügen (scheinen): f 1 : y = x 2 – 7x ____ x – 16 und f 2 : y = x 2 – 4 x ____ x – 4 = x· x – 4 ___ x – 4 Beachte jedoch: f 2 besitzt bei x = 4 eine in der Form _ f 2 : y = x x ≠ 4 y = 1 x = 4 hebbare Definitionsøücke (vgø. Buch 6. Kø. S. 247 f). __ f 2 besitzt in E ein øokaøes Minimum ohne waagrechte Tangente (vgø. S. 124). _ f 2 ist eine ausgeartete Lösung der Aufgabe, die man durch die Voraussetzung a ≠ b von vornherein hätte ausschøießen können bzw. müssen. y x 1 0 1 f 1 E y x 1 0 1 f 2 E Diskussion von rationalen Funktionen 398 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 2 + 1 ____ x b f: y = x 3 – 4 ____ x 2 c f: y = 2 x + 1 __ x 2 d f: y = 2 x – 1 __ x 2 399 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 2 + 4 ____ 2x – 4 b f: y = x 2 – 8 ____ x + 2 c f: y = 4 + 3x – x 2 ______ 2x + 4 400 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x ____ x 2 – 16 b f: y = 4x ____ x 2 + 1 c f: y = 6x ______ x 2 + 2x + 4 401 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 2 ____ 1 – x 2 b f: y = 3 – x 2 ____ x 2 – 4 c f: y = x 2 – 16 ____ x 2 – 4 402 Diskutiere die Funktion f! a f: y = 6 ____ x 2 + 3 b f: y = x 2 ____ x 2 + 12 c f: y = x 2 – 2x ____ (x + 1) 2 403 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 3 ____ x 2 – 3 b f: y = x 3 ____ 4 – x 2 c f: y = x 3 ______ x 2 – x – 2 404 Diskutiere die Funktion f! a f: y = x 3 ______ x 2 + x – 6 b f: y = x 3 ______ x 2 – x – 6 c f: y = x 3 ______ x 2 + 2x – 3 155152-109 Nur zu Prüfzwecken – Eigentum des Verlags öbv